noip2012开车旅行 题解

题目大意：

　　给出n个排成一行的城市，每个城市有一个不同的海拔。定义两个城市间的距离等于他们的高度差的绝对值，且绝对值相等的时候海拔低的距离近。有两个人轮流开车，从左往右走。A每次都选最近的，B每次都选次近的。旅行时有一个总路程x，如果两个人的总路程>x 或 有一个人无法按照自己的原则选择目的城市，旅行就终止。

　　有两个问：

　　1.给出x0，求从哪一个城市出发，使得A走的路程/B走的路程最小。如果B走的路程=0，则比值视为无穷大。如果有多个城市满足要求，则输出海拔最高的那个城市。

　　2.给出x和s（出发城市），求旅行终止是A的路程和B的路程。

 

题解：

【数据范围】
对于30%的数据，有1≤N≤20，1≤M≤20；
对于40%的数据，有1≤N≤100，1≤M≤100；
对于50%的数据，有1≤N≤100，1≤M≤1,000；
对于70%的数据，有1≤N≤1,000，1≤M≤10,000；
对于100%的数据，有1≤N≤100,000，1≤M≤10,000，-1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000，
0≤X0≤1,000,000,000，1≤S
i≤N，0≤Xi≤1,000,000,000，数据保证Hi 互不相同。

 先想骗分。。。

• 50分

对于50%的数据还是很好骗的。每次旅行都直接模拟行走，每次找一个最近或次近，时间O(N*N)。

对于第一问直接枚举起点。时间复杂度为O(N*N*M + N*N*N)

• 70分

发现50分算法主要是 每次都要找下一个城市 耗费了太多时间，于是干脆直接预处理，O(N*N)，总时间O(N*M + N*N)

• 满分

还是想想改进。。。70分算法的预处理太傻逼了。。其实我们是要每次找到一个海拔与当前城市相差最少的城市。所以算法就有很多种了……比如离散化+链表，双向链表，平衡树（其实用set的话程序比双向链表还好打，因为二分stl都给你弄好了。。）

这里主要介绍下双向链表的做法：就是按高度排序，然后链起来。按城市原始位置从左到右处理接下来的城市是哪个，然后将自己删掉（因为接下来就没用了）。如何找接下来的那个？就是往链表的左右两边找两层，记一个最近和次近。

然后预处理就可以优化到O(N)

then？？？

发现其实这是一棵树。。。

于是倍增

预处理已经处理出2^0的情况了。接下来直接动规就好了，就可以预处理出每个点的2^i的父亲是谁，以及A走了多少，B走了多少。

then？？？

现在问题就是给定总路程要怎么求出AB走的路程。

问题可以转化成给定总路程求走了几次。然后就可以用上先前的预处理。假设走了t次，则t肯定可以表示成二进制，而且只有logn位的二进制数。于是可以枚举这一位取0还是1。调用先前处理的数组，看加上所增加的路程后会不会超出x，不会就是1，会就是0。

于是问题就完美解决了！

//代码（巨丑无比）

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <map>
const int N = 100000 + 9;
struct Link
{
	int nxt,pre;
}link[N];
int TOT,n,idx[N];
struct CITY
{
	int h,idx;
}city[N];
struct info
{
	int u;
	long long dis1,dis2;
	info(const int a = 0,const long long b = 0,const long long c = 0):u(a),dis1(b),dis2(c){}
}f[20][N][2];
//0: B
//1: A
inline bool cmp(const CITY &lhs,const CITY &rhs){return lhs.h < rhs.h;}
inline int getnext(const int i,const int t){return i?t:(t^1);}
void update(const int i,const int j,const int t)
{
	const int nxt = f[i - 1][j][t].u;
	const long long dis1 = f[i - 1][j][t].dis1,dis2 = f[i - 1][j][t].dis2;
	if (nxt) {
		info tmp;
		if ((tmp = f[i - 1][nxt][getnext(i - 1,t)]).u)
			f[i][j][t] = info(tmp.u,dis1 + tmp.dis1,dis2 + tmp.dis2);
	}
}
std::pair<int,int> go(int s,long long x)
{
	std::pair<int,int>tmp(0,0);
	int turn = 1; // A
	for (int i = TOT; i >= 0; --i) {
		if (!f[i][s][turn].u) continue;
		if (x - f[i][s][turn].dis1 - f[i][s][turn].dis2 < 0) continue;
		x -= f[i][s][turn].dis1 + f[i][s][turn].dis2;
		tmp.first  += f[i][s][turn].dis2;
		tmp.second += f[i][s][turn].dis1;
		turn = getnext(i,turn);
		s = f[i][s][turn].u;
	}
	return tmp;
}
inline void check(const int id_p,const int id_n,int &Min_h1,int &Min_i1,int &Min_h2,int &Min_i2)
{
	if (!id_n) return;
	const int dis = std::abs(city[id_p].h - city[id_n].h);
	if (dis < Min_h1 || dis == Min_h1 && city[id_n].h < city[Min_i1].h) {
		Min_h2 = Min_h1;
		Min_i2 = Min_i1;
		Min_h1 = dis;
		Min_i1 = id_n;
	}else if (dis < Min_h2 || dis == Min_h2 && city[id_n].h < city[Min_i2].h) {
		Min_h2 = dis;
		Min_i2 = id_n;
	}
}
inline long long cmp2(const std::pair<int,int>lhs,const std::pair<int,int>rhs)
{
	if (!lhs.second && !rhs.second) return 0;
	else if (!lhs.second) return 1;
	else if (!rhs.second) return -1;
	else return 1ll * lhs.first * rhs.second - 1ll * rhs.first * lhs.second;
}
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("drive.in","r",stdin);
	freopen("drive.out","w",stdout);
	#endif
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%d",&city[i].h);
		city[i].idx = i;
	}			
	std::sort(city + 1,city + 1 + n,cmp);
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		link[i].nxt = i + 1;
		link[i + 1].pre = i ;
		idx[city[i].idx] = i;
	}
	idx[city[n].idx] = n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		int id = idx[i],Min_h1 = 0x7fffffff,Min_i1 = 0,Min_h2 = 0x7fffffff,Min_i2 = 0;
		check(id,link[id].pre,           Min_h1, Min_i1, Min_h2, Min_i2);
		check(id,link[id].nxt,           Min_h1, Min_i1, Min_h2, Min_i2);
		check(id,link[link[id].pre].pre, Min_h1, Min_i1, Min_h2, Min_i2);
		check(id,link[link[id].nxt].nxt, Min_h1, Min_i1, Min_h2, Min_i2);
		f[0][i][0] = info(city[Min_i1].idx,Min_h1,0);
		f[0][i][1] = info(city[Min_i2].idx,0,Min_h2);
		if (link[id].nxt) link[link[id].nxt].pre = link[id].pre;
		if (link[id].pre) link[link[id].pre].nxt = link[id].nxt;
	}
	TOT = static_cast<int>(ceil(log2((double)n)));
	for (int i = 1; i <= TOT; ++i)
		for (int j = 1; j <= n; ++j) {
			update(i,j,0);
			update(i,j,1);
		}
	int x;
	scanf("%d",&x);
	std::pair<int,int>ans;
	int ans_pos = 0;
	ans.first = 1; ans.second = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		std::pair<int,int>tmp = go(i,x);
		if (cmp2(tmp,ans) < 0) {
			ans = tmp;
			ans_pos = i;
		}else if (cmp2(tmp,ans) == 0 && city[idx[ans_pos]].h < city[idx[i]].h) {
			ans = tmp;
			ans_pos = i;
		}
	}
	printf("%d\n",ans_pos);
	int m;
	scanf("%d",&m);
	for (int i = 1,x,s; i <= m; ++i) {
		scanf("%d%d",&s,&x);
		std::pair<int,int> tmp = go(s,x);
		printf("%d %d\n",tmp.first,tmp.second);
	}
}