倍增：ST与LCA

倍增算法之：ST表 与 RMQ

讲解：

倍增思想，就是每次在原基础上往前“跳” $2^n$ 步
RMQ参考 https://blog.csdn.net/qq_31759205/article/details/75008659
RMQ 问题，即区间最值查询问题，通常的做法（我会的做法）有 暴力、线段树……
这里介绍一种比较高效的算法：ST表。
ST 表可以做到 $O(nlogn)$ 的预处理和 $O(1)$ 的查询，是一种在码量和复杂度上都非常优秀的方法。

预处理：

• 设 $a$ 是要求区间最值的序列，$f_{i,j}$ 表示从第 $i$ 个数起连续 $2^j$ 个数中的最大值。（DP状态）

for example：
a={3,2,4,5,6,8,1,2,9,7};
$f_{1,0}$表示从第一个数开始，长度为 $2^0=1$ 的最大值，其实就是这个数 $3$。

• 很容易看出 $f_{i,0}=a_i$。（DP的初始值）
• 我们把 $f_{i,j}$ 平均分成 $2$ 段（因为 $i$ 到 $i+j-1$ 之间一定有偶数个数），从 $i$ 到 $i+2^{(}j-1)-1$ 为一段，$i+2^{(}j-1)$ 到 $i+2^j-1$ 为一段，每段长度都是 $2^{(}j-1)$。我们可以得出状态转移方程：$f_{i,j}=max\{f_{i,j-1},f_{i+2^{(}j-1),j-1}\}$。

查询：

• 假如我们要查询的区间为 $i$ 到 $j$，那么我们需要找到覆盖整个闭区间（左边界取 $i$，右边界取 $j$）的最小幂（可以重叠）

比如我们要查询 1，2，3，4，5 中的最大值，我们可以先查询 1，2，3，4 中的最大值，再查询 2，3，4，5 中的最大值，最后取 max

• 因为这个区间长度为 $j-i+1$，所以我们就可以取 $k=log2（j-i+1）$ 则有 $RMQ（i，j）=max\{f_{i,k},f_{j-2^k+1,k}\}$.

洛谷模板题传送门：ST 表 && RMQ 问题

代码：

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
int n,m;
int f[100100][100];
 
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-48;ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
 
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i][0]=read();
	}
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
	{
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
		{
			f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
		}
	}
	while(m--)
	{
		int k=0;
		int l,r;
		l=read();r=read();
		while((1<<(k+1))<=r-l+1)k++;
		int ans=max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
 } 

倍增求 LCA

讲解：

LCA，即为最近公共祖先。
我们可以记录一个深度 $dept{h}_i$ 表示节点 $i$ 的深度，每往上跳一次，深度就减 1
定义 $f_{i,j}$ 表示从 $i$ 点向上跳 $2^j$ 步会跳到哪里。
前面也用到了一个倍增的常用方法：$2^j=2^{j-1}+2^{j-1}$
则状态转移方程为

$f_{i,j}=f_{f_{i,j-1},j-1}$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int maxn=500100;
const int maxm=500100; 
 
int n,m,root;
int depth[maxn];//表示第i个节点的深度 
int en=0;
int fir[maxn];
int f[maxn][25];
 
struct edge{
	int v,next;
}ed[maxm*2];
 
void add_edge(int u,int v)
{
	en++;
	ed[en].v=v;
	ed[en].next=fir[u];
	fir[u]=en;
}
 
void dfs(int now,int fa)//当前节点为now，fa是他的父亲节点 
{
	depth[now]=depth[fa]+1;
	f[now][0]=fa;//从这个点向上跳2^0=1步，到达父亲
	for(int i=1;i<=20;i++)
	{
		f[now][i]=f[f[now][i-1]][i-1];//转移方程 
	 } 
	for(int i=fir[now];i;i=ed[i].next)//遍历所有出边 
		if(ed[i].v!=fa) dfs(ed[i].v,now);
}
 
int get_lca(int a,int b)
{
	if(depth[a]<depth[b])swap(a,b);//把 a 变成深度更深的点 
	for(int i=20;i>=0;i--)//a 向上跳，直到与 b 深度一致. 
	{
		if(depth[f[a][i]]>=depth[b])//没有跳过
			a=f[a][i]; 
	}
	//求lca
	if(a==b) return a; 
	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(f[a][i]!=f[b][i])//说明两个点同时向上跳了 2^i 步后仍然没有重合，没有跳到lca
			a=f[a][i],b=f[b][i]; 
	}
	return f[a][0];//返回他们的父节点 
}
 
int main()
{
	cin>>n>>m>>root;
	depth[root]=0;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int p1,p2;
		cin>>p1>>p2;
		add_edge(p1,p2);
		add_edge(p2,p1);
	}
	dfs(root,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		int p=get_lca(a,b);
		cout<<p<<"\n";
	}
	return 0;
 }