倍增：ST与LCA
倍增算法之：ST表 与 RMQ
讲解：
倍增思想，就是每次在原基础上往前“跳” \(2^n\) 步
RMQ参考 https://blog.csdn.net/qq_31759205/article/details/75008659
RMQ 问题，即区间最值查询问题，通常的做法（我会的做法）有 暴力、线段树……
这里介绍一种比较高效的算法：ST表。
ST 表可以做到 \(O(nlogn)\) 的预处理和 \(O(1)\) 的查询，是一种在码量和复杂度上都非常优秀的方法。
预处理：
- 设 \(a\) 是要求区间最值的序列，\(f_{i,j}\) 表示从第 \(i\) 个数起连续 \(2^j\) 个数中的最大值。（DP状态）
for example：
a={3,2,4,5,6,8,1,2,9,7};
\(f_{1,0}\)表示从第一个数开始，长度为 \(2^0=1\) 的最大值，其实就是这个数 \(3\)。
- 很容易看出 \(f_{i,0} = a_i\)。（DP的初始值）
- 我们把 \(f_{i,j}\) 平均分成 \(2\) 段（因为 \(i\) 到 \(i+j-1\) 之间一定有偶数个数），从 \(i\) 到 \(i+2^(j-1) -1\) 为一段，\(i+2^(j-1)\) 到 \(i+2^j-1\) 为一段，每段长度都是 \(2^(j-1)\)。我们可以得出状态转移方程：\(f_{i,j}=max\{f_{i,j-1},f_{i+2^(j-1),j-1}\}\)。
查询：
- 假如我们要查询的区间为 \(i\) 到 \(j\)，那么我们需要找到覆盖整个闭区间（左边界取 \(i\)，右边界取 \(j\)）的最小幂（可以重叠）
比如我们要查询 1，2，3，4，5 中的最大值，我们可以先查询 1，2，3，4 中的最大值，再查询 2，3，4，5 中的最大值，最后取 max
- 因为这个区间长度为 \(j-i+1\)，所以我们就可以取 \(k=log2（j-i+1）\) 则有 \(RMQ（i，j）= max\{f_{i,k},f_{j-2^k+1,k}\}\).
洛谷模板题传送门：ST 表 && RMQ 问题
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int f[100100][100];
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=x*10+ch-48;ch=getchar();
}
return x*f;
}
int main()
{
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i][0]=read();
}
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
{
f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
while(m--)
{
int k=0;
int l,r;
l=read();r=read();
while((1<<(k+1))<=r-l+1)k++;
int ans=max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
倍增求 LCA
讲解：
LCA，即为最近公共祖先。
我们可以记录一个深度 \(depth_i\) 表示节点 \(i\) 的深度，每往上跳一次，深度就减 1
定义 \(f_{i,j}\) 表示从 \(i\) 点向上跳 \(2^j\) 步会跳到哪里。
前面也用到了一个倍增的常用方法：\(2^j = 2^{j-1}+2^{j-1}\)
则状态转移方程为
\(f_{i,j}=f_{f_{i,j-1},j-1}\)
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=500100;
const int maxm=500100;
int n,m,root;
int depth[maxn];//表示第i个节点的深度
int en=0;
int fir[maxn];
int f[maxn][25];
struct edge{
int v,next;
}ed[maxm*2];
void add_edge(int u,int v)
{
en++;
ed[en].v=v;
ed[en].next=fir[u];
fir[u]=en;
}
void dfs(int now,int fa)//当前节点为now，fa是他的父亲节点
{
depth[now]=depth[fa]+1;
f[now][0]=fa;//从这个点向上跳2^0=1步，到达父亲
for(int i=1;i<=20;i++)
{
f[now][i]=f[f[now][i-1]][i-1];//转移方程
}
for(int i=fir[now];i;i=ed[i].next)//遍历所有出边
if(ed[i].v!=fa) dfs(ed[i].v,now);
}
int get_lca(int a,int b)
{
if(depth[a]<depth[b])swap(a,b);//把 a 变成深度更深的点
for(int i=20;i>=0;i--)//a 向上跳，直到与 b 深度一致.
{
if(depth[f[a][i]]>=depth[b])//没有跳过
a=f[a][i];
}
//求lca
if(a==b) return a;
for(int i=20;i>=0;i--)
{
if(f[a][i]!=f[b][i])//说明两个点同时向上跳了 2^i 步后仍然没有重合，没有跳到lca
a=f[a][i],b=f[b][i];
}
return f[a][0];//返回他们的父节点
}
int main()
{
cin>>n>>m>>root;
depth[root]=0;
for(int i=1;i<n;i++)
{
int p1,p2;
cin>>p1>>p2;
add_edge(p1,p2);
add_edge(p2,p1);
}
dfs(root,0);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a,b;
cin>>a>>b;
int p=get_lca(a,b);
cout<<p<<"\n";
}
return 0;
}
