洛谷P1083 [NOIP2012 提高组] 借教室 && 差分学习笔记

传送门：P1083 [NOIP2012 提高组] 借教室

"八骏日行三万里，穆王何事不重来。"
可惜啊，他再也没有回来……

题目大意：

给你每天能够租借的教室数量 和 几份租借申请
每份申请包含 租界时间（从第几天到第几天）和 每天需要租借的教室数量
问你能否满足所有的租借要求，如果不能，驳回一份最前的不能满足要求的申请

思路：

• 暴力：首先，这道题目的暴力很好想，就是从 1 开始遍历每一种订单，判断是否合法
  复杂度：O(nm),铁定爆炸

• 线段树：蒟蒻第一眼看到这道题首先想到的是线段树，维护一个区间最小值，判断能否租借
  每次有租借请求就做一个区间减法
  但是一个黄题的话就有点。。。杀鸡焉用宰牛刀的感觉。其实是懒，而且要知道线段树复杂度还是很高的
  具体可以看一下这个大佬的博文

• 至于正解：首先我们要明确一个知识点，那就是：

差分！

• 引入：
  首先，给你一个问题:
  给出 n 个数，再给出 Q 个询问，每个询问给出 l, r ;
  要求你在 l 到 r 上每一个值都加上 x，而只给你 O(n) 的时间范围，怎么办？

• 思路：
  还是用上面这个题目,假如要在 l 和 r 上全都加一个 x,很显然,这个 O(n) 是不可避免的。
  既然这样,那我们考虑在询问中我们不去来加,而是做一个标记,最后一起加上。 有一点线段树lazy_tag的思想

• ps:以上摘自https://www.zybuluo.com/Junlier/note/1232395

• 这就是差分
  差分即相邻两个数的差。
  我们可以这样去想：
  对于一个序列 a[ ]={1,3,4,7}；
  我们构建一个差分数组 cf，cf[i] 表示 a[i] - a[i-1]，则 cf[ ]={1,2,1,3}；
  这时，对于求某个数，比如：

a[1] = cf[1];
a[2] = cf[1] + cf[2];
a[3] = cf[1] + cf[2] + cf[3];
a[4] = cf[1] + cf[2] + cf[3] + cf[4];``

• 这时例如我们想要让 第 1 个数 和 第 3 个数 之间所有数 +3
  发现：cf[1]+=3，但是 1~3 的区间内的数的两两间的差值没有变，a[3] 与 a[4] 之间的差值(cf[4])-3，a[4] 与之后的数差值不变
  特殊 ——> 一般
  对于在 l 到 r 的区间内 +x，其实相当于 cf[l]+x，cf[r+1]-x。
  最后输出时，按照上面的方法顺序求解就好了。(区间减法亦然)

• 顺便提一嘴，前缀和是用元数据求元与元之间的并集关系，而差分则是根据元与元之间的逻辑关系求元数据，是互逆思想。——摘自 皎月半洒花【小花】的题解

至此，我们就可以来探讨一下正解了 QWQ

那就是：差分 + 二分答案

• 一般来说，二分是个很有用的优化途径，因为这样会直接导致减半运算，而对于能否二分，有一个界定标准：状态的决策过程或者序列是否满足单调性或者可以局部舍弃性。 而在这个题里，因为如果前一份订单都不满足，那么之后的所有订单都不用继续考虑；而如果后一份订单都满足，那么之前的所有订单一定都可以满足，符合局部舍弃性，所以可以二分订单数量。 ——摘自 皎月半洒花【小花】的题解

• 二分查找の魔鬼细节，请移步

所以，每次二分一下，直到无法满足或者全枚举完结束。

代码：

不开 long long 见祖宗

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
#define int long long
 
const int maxn=1001000;
 
int m,n;
int r[maxn];
int rr[maxn];
int d[maxn],s[maxn],t[maxn];
int cf[maxn];
 
bool check(int x)
{
	memset(cf,0,sizeof(cf));
	for(int i=1;i<=x;i++)
	{
		cf[s[i]]+=d[i];
		cf[t[i]+1]-=d[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		rr[i]=rr[i-1]+cf[i];
		if(rr[i]>r[i])return 0;
	}
	return 1;
 } 
 
signed main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>r[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>d[i]>>s[i]>>t[i]; 
	int left=1,right=m;
	while(left<right)
	{
		int mid=left+right>>1;
		if(check(mid))left=mid+1;
		else right=mid; //因为要查找的是右边界 
	}
	if(left<m)cout<<-1<<endl<<left<<endl;
	else cout<<0<<endl;
	return 0;
}

后记：

这是一篇写了两个半小时的博文。。。
写的时候确实是挺煎熬的
但我觉得这很有意义
学会了自己之前不会的知识，了解了新的思路，更重要的是能 +rp
另外，这确实是一道非常好的题目！