信号处理中的傅里叶变换

$point1$: 不同频率线性组合形成循环波。

$point2$: 周期化。

$point3$: $sin(2 \pi kt) = \frac{e^{2 \pi ki t} - e^{-2 \pi kit}}{2i}, cos(2 \pi kit) = \frac{e^{2 \pi kit} + e^{-2 \pi kit}}{2}$

本质：用$sine, cosine$两个函数组合表示出周期函数 / 用不同频率的叠加形成相应波。

综上，得到周期为1的最大合成频率为 $n$ 的波的表示形式 $f(t) = \sum_{k=-n}^{n}{C_k e^{2 \pi kit}}$, $C_k\ is\ complex$

其中对于等式左右乘以 $e^{-2 \pi mit }$ 并对于 $t$ 从0到1积分得：$\hat{f}(k) = C_k = \int_{0}^{1}{e^{-2 \pi kit}f(t) dt}$

$ \hat{f}(k) : the\ k\ Fourier\ coefficient\ of\ f$

注意一个十分重要的性质：$\int_{0}^{1}{e^{-2 \pi ikt}} = 0\ when\ k \neq 0$

 

$trick$ ：在证明一个数学结论之前，先假定它是成立的，然后来看看我们能做到什么 / 得到了什么结果。

 

$theory:$ 如果$f(x)$ 的任意阶导数出现了不连续的情况，那么 $f$ 函数不可以用有限傅里叶展开表示。而在近似方法中，我们需要高频率来产生尖（哪怕这个尖再平滑）。

 

一个函数的傅里叶变换也就是

$$F(s) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-2\pi is t}f(t)dt}$$

逆变换为$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{2\pi is t}F(s)ds}$$

值得一提的是高斯函数 $$\pi(x) = e^{-\pi x^2}$$ 的傅里叶变换等于其本身，也就是其在频域以及时域上的函数相同。

对偶性：$$f^+(-s) =f^-(s)$$（从数学的角度，无法简单从物理层面解释）即是 $$\mathcal{F}({f^-}) = \mathcal{F}({f})^- = \mathcal{F}^-(f)$$

 

考虑对于原函数进行变换后，傅里叶变换的变化：

1 .$$\mathcal{F}(f(x + t))(s) = e^{2\pi ist}\mathcal{F}(f(x))$$ 将函数进行右移的结果。

2 .$$\mathcal{F}(f(ax))(s) = \frac{1}{|a|}\mathcal{F}(f(x))(\frac{s}{a})$$ 频域与值域的反比关系，【测不准原理】的一种形式。

3 .$$\mathcal{F(f(x))}(s) \times \mathcal{F(g(x))}(s) = \mathcal{F(\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)g(s-t)}dt)}(s) $$ 即两个函数的傅里叶变换的乘积等于两个函数卷积的傅里叶变换，这样我们得到了一个快速求解卷积的方法。

上述三个证明可以很简单地通过微积分计算得到。

推广到多项式乘法：
也就是我们考虑用若干个频域去表示一个 $n$ 元多项式
$$A(s) = \sum_{t=-\infty}^{\infty}{e^{\frac{-2\pi i st}{len}}a(t)} \\ = \sum_{t=0}^n{e^{\frac{-2\pi ist}{n} }a(t)}$$
考虑类比积分形式的逆变换 $$\hat{A}(T) = \sum_{s=0}^n{e^{\frac{2\pi iTs}{n}}A(s)} \\ = \sum_{s=0}^n{\sum_{k=0}^n{e^{\frac{2\pi i(T-k)s}{n}}a(k)}} \\ = \sum_{k=0}^n{a(k) \sum_{s=0}^n{e^{\frac{2\pi i(T-k)s}{n}}}} \\ = n \times a(k)$$
从而实现了正逆变换，其中
$$A(s)B(s) = \sum_{t_1,t_2}{[0 \le t_1 \le n][0 \le t_2 \le n]e^{\frac{2\pi is(t_1+t_2)}{n}}a(t_1)b(t_2)}$$
从而 $$\hat{(A \cdot B)}(s) = \sum_{t_1,t_2}{[0 \le t_1 \le n][0 \le t_2 \le n][t_1+t_2 = s]a(t_1)b(t_2)}$$