Ladies' Shop

题意：

有 $n$ 个包，设计最少的物品体积（可重集），使得

1. 对于任意一个总体积不超过给定 $m$ 的物体集合有其体积和 恰好等于一个包的容量。

2.对于每一个包，存在一个物品集合能恰好装满它。

 

解法：

考虑对于包的容量集合建立多项式 $A(x)$

注意到显然答案中的物品体积取自 $n$ 个包的容量。

那么根据题意有 条件2 <-> [$A(x)$中系数i为零 ->  $A^2(x)$ 中系数i为零]

proof ： 在只考虑系数是否为零的合法情况下，$A^k(x)$ 随着 $k$ 的增大而变小。

从而有取出 $A^2$ 相对 $A$ 所有丢失的项作为答案即可。

 

#include <bits/stdc++.h>

#define PI acos(-1)

const int N = 1000010;

using namespace std;

struct EX
{
    double real,i;
    EX operator+(const EX tmp)const{return (EX){real+tmp.real, i+tmp.i};};
    EX operator-(const EX tmp)const{return (EX){real-tmp.real, i-tmp.i};};
    EX operator*(const EX tmp)const{return (EX){real*tmp.real - i*tmp.i, real*tmp.i + i*tmp.real};};
};

int R[N<<2];

void DFT(EX a[],int n,int tp_k)
{
    for(int i=0;i<n;i++) if(i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
    for(int d=1;d<n;d<<=1)
    {
        EX wn = (EX){cos(PI/d), sin(PI/d)*tp_k};
        for(int i=0;i<n;i += (d<<1))
        {
            EX wt = (EX){1,0};
            for(int k=0;k<d;k++, wt = wt*wn)
            {
                EX A0 = a[i+k], A1 = wt * a[i+k+d];
                a[i+k] = A0+A1;
                a[i+k+d] = A0-A1;
            }
        }
    }
    if(tp_k==-1)
        for(int i=0;i<n;i++) a[i] = (EX){a[i].real/n, a[i].i/n};
}

int n,m,a[N],b[N],ans[N];
EX A[N<<2];
bool v[N],flag[N];
bitset<N> f;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    m++;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]), v[a[i]]=1;
    int L = 0,tot;
    while((1<<L)<m+m) L++;
    tot = (1<<L);
    for(int i=1;i<tot;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    for(int i=1;i<=n;i++) A[a[i]] = (EX){1,0};
    DFT(A,tot,1);
    for(int i=0;i<tot;i++) A[i] = A[i]*A[i];
    DFT(A,tot,-1);
    bool ansv = 1;
    int t = 0;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        if(A[i].real>0.5 && !v[i]) ansv = 0;
        else if(v[i] && A[i].real<0.5) b[++t] = i;
    }
    if(!ansv) puts("NO");
    else
    {
        puts("YES");
        printf("%d\n",t);
        for(int i=1;i<=t;i++) printf("%d ",b[i]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}