Empire Strikes Back

题意：

给定$K$个数字，求最小的正整数$n$，使得$\prod_{i=1}^{K}{a_i !} | n!$

 

解法：

注意到$$\sum_{p为质数}{1/p} = O(loglogn)$$，

这样考虑用筛法筛出来$\prod_{i=1}^{K}{a_i !}$的各个质因数个数（实现时记一下大于每个数字的有多少个$a_i$）

这样只要对于每一个质数求出最小的$tmp$，使得${p_i}^{cnt(i)} | tmp!$

考虑二分，而后求$mid!$内有多少个$p$，可以用容斥或者直接$[mid/p]+[[mid/p]/p] + ...$。

总效率$O(nlognlogn+x(n)*logn)$

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

#define N 10000010 
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL

using namespace std;

int n,tot;
int a[1000010];
int num[N],prime[N],S[N];
LL cnt[N];
bool v[N];

LL check(LL x,LL n)
{
    LL ans=0;
    for(;n>1;n/=x) ans+=n/x;
    return ans;
}

LL calc(int x,LL n)
{
    if(!n) return 0LL;
    if(n==1) return (LL)x;
    LL l=1,r=INF;
    while(r-l>2)
    {
        LL mid=(l+r)>>1;
        if(check(x,mid)>=n) r=mid;
        else l=mid;
    }
    for(LL i=l;i<=r;i++)
        if(check(x,i)>=n) return i;
    return -1;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),S[a[i]]++;
    for(int i=N-2;i>=1;i--) S[i]+=S[i+1];
    for(int i=1;i<N;i++) num[i]=i;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(v[i]) continue;
        prime[++tot]=i;
        for(int j=i;j<N;j+=i)
        {
            v[j]=1;
            while(num[j]%i==0)
            {
                num[j]/=i;
                cnt[tot]+=(LL)S[j];
            }
        }
    }
    LL ans=1;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        ans = max(ans, calc(prime[i],cnt[i]));
    cout << ans << endl;
    return 0;
}