Coins

题意：

有1~n 面值的硬币，第i个硬币有ai个，求问这些硬币可以凑出多少个权值。

 

解法：

假定对于第i个硬币，选取了$x_i$个，则凑出的权值为$S = \sum_{i=1}^n{x_i * i}$

其中$x_i$可以表示为$x_i = k_i * \frac{LCM(1,2..,n)}{i} + b_i$，从而有

$$S = LCM(1,2...n)* \sum_{i=1}^n {k_i} + \sum_{i=1}^n{b_i * i}$$

这样有$0<=bi<LCM/i $，$S$可以表示为若干个公比为$LCM$，首项为$\sum_{i=1}^n{b_i * i}$，

项数为$\sum_{i=1}^n {k_i}$的等差数列的并。

这样$a2_i = min \{ a_i \  mod \  \frac{LCM}{i} + \frac{LCM}{i}, a_i \} $，二进制拆分+bitset压位计算出

$O(n^2 * LCM *log(a2_i) / 64)$，进而计算出首项，合并等差数列即可。

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <bitset>
#include <ctime>

#define N 17
#define LL long long
#define M 360361

using namespace std;

int n,L,a[N];
bool flag[M];
bitset<M*N> f;

LL gcd(LL a,LL b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

int main()
{
//    freopen("test.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        L=1;
        int sum=0;
        LL ans=0,K=0;
        for(int i=2;i<=n;i++) L = L*i/gcd(L,i);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            int tmp = min(a[i], a[i]%(L/i) + (L/i));
            K += (a[i]-tmp) / (L/i);
            a[i]=tmp;
            sum+=i*a[i];
        }
        f.reset();
        f[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int cnt=a[i];
            for(int j=1;cnt;j<<=1)
            {
                int tmp=min(j,cnt);
                if(tmp*(LL)i > sum) break;
                f |= (f << (tmp*i));
                cnt-=tmp;
            }
        }
        for(int i=0;i<=sum;i++)
        {
            if(!f[i]) continue;
            ans++;
            bool flag=0;
            for(int j=i-L;j>=0;j-=L) if(f[j]) flag=1;
            if(!flag) ans += K;
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}