BZOJ1485 有趣的数列

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1485

首先有一个显而易见的结论：

对于任意的 $a(i)$ ($i$为偶数) 有 $a(i) > a(j) (0<j<i)$

然后有 $a(i) > 2 \cdot i$ (只考虑选出n个偶数项)

$f[i][j]$ 表示前$i$个，最大的数为 $j$ 的方案数，然后 $O(n^2)$ TLE

打表发现是catalan数，然后就没有然后了。

将$n!$的质因数分解然后计算$C(n,2 \cdot n)/(n+1)$相当于计算出所有质数，然后计算他们各自在答案中的指数，最后乘起来。

然后$O(nlogn)$AC。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define N 2000010
#define LL long long

using namespace std;

int n,P,fact[N],f[N];
bool pri[N];

// h[n] = C(2n,n)/(n+1) (mod P)

inline LL qpow(LL x,LL n){
    LL ans=1;
    for(;n;n>>=1,x=x*x%P)
        if(n&1) ans=ans*x%P;
    return ans;
}

inline void Fac(int n,int v){
    for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=i;
    for(int i=2,j;i<=n;i++){
        if(pri[i]) continue;
        for(j=i;j<=n;j+=i){
            if(j>i) pri[j]=1;
            while(f[j]%i==0){
                f[j]/=i;
                fact[i]+=v;
            }
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&P);
    Fac(2*n,1);
    Fac(n,-2);
    int x=n+1;
    for(int i=2;i<=n+1&&x>1;i++){
        if(pri[i]) continue;
        while(x%i==0) x/=i,fact[i]--;
    }
    LL ans=1;
    for(int i=2;i<=2*n;i++){
        if(pri[i]) continue;
        ans=ans*qpow(i,fact[i])%P;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}