2024 IMO 第五题

憨豆特工在一个 2024行2023 列的方格表上做游戏。方格表中恰有 2022 个方格各藏有一个坏人，初始时,憨豆不知道坏人的位置,但是他知道除了第一行和最后一行之外，每行恰有一个坏人，且每列至多有一个坏人，憨豆想从第一行移动到最后一行，并进行若干轮尝试，在每一轮尝试中，憨豆可以在第一行中任意选取一个方格出发并不断移动，他每次可以移动到与当前所在方格有公共边的方格内。(他允许移动到之前已经到达过的方格)，若憨豆移动到一个有坏人的方格，则此轮尝试结束，并且他被传送回第一行开始新的一轮尝试，坏人在整个游戏过程中不移动，并且憨豆可以记住每个他经过的方格内是否有坏人，若憨豆到达最后一行的任意一个方格，则游戏结束，求最小的正整数 n，使得不论坏人的位置如何分布，憨豆总有策略可以确保他能够经过不超过n轮尝试到达最后一行。

 

n最小为3。

1肯定不行，因为在第一次尝试下到第二行时，无论从哪里下去，都可能碰到坏人。

2也肯定不行。如果第一次从第一行下到第二行就碰到坏人了，那么第一次尝试得到的信息只有第二行以及坏人所在那一列的信息，对第三行的信息是一无所知的，第三行除了第二行坏人所在那一列没坏人 都可能有坏人。所以在第一次从第二行下到第三行时，无论从第二行的哪个位置下去，都可能碰到坏人，所以2也不行。

3是可以的。策略如下：

第一次尝试用来确定第二行坏人的位置（从第二行的左边一直向右走），不妨令第二行坏人位置为 2,n 。

分两种情况：

1. 第二行坏人位置不在第1列或第2023列。 这种情况从1,1下到 3,1 ，从左往右走直至n，如果走到n都没碰到坏人，那么从 3,n 一直向下走就到最后一行了。如果在n之前碰到坏人了，那么第三次从1,n+1到3,n+1，再到3,n，直着下去就行了。

2. 第二行坏人位置在第1列或第2023列。 不妨令坏人在第1列。之后的策略如下：

从 1,2023 下到 3,2023 之后一直向左走到 3,3 ，如果碰到坏人了，位置不妨为 3,m（m>2），那么第三次从1,2到3,2，再到3,1，直着下去就行了。如果向左走到 3,3一直没碰到坏人，那坏人肯定在3,2 ，之后从3,3回头 走到3,2023 下到4,2023，一直向左走到 4,4 ，之后的处理方式与一直向左走到 3,3相同，之后重复上述步骤··· 如果这样一直走到2023,2023都没碰到坏人，那么从2023,2023直接下到2024,2023就完成任务了。

证毕。