2024哈佛-麻省数学竞赛（HMMT）2月锦标赛 团体赛第9题

[55]（题目分数） 在一个200*200的网格表的每个单元格上放置一辆汽车，它面向四个基本方向之一。在一步操作中，选择一辆前面没有汽车挡住的汽车，并将其向前滑动一个单元格。如果一步操作会导致汽车离开网格，则将该汽车移除。对初始放置方法的要求是，一定存在一系列操作，最终可以将所有汽车从网格中移除。在所有这样的初始放置方法中，确定完成此操作的最大可能移动次数。

 

解：考虑更一般的n*n网格表。显然在一行/列上不能出现方向相对的汽车，否则不能移出网格。先证明n次移动出网格的汽车个数最多为2n-1：n次移动出网格的汽车只可能在四条边上出现。四条边上除了四个角的网格中，最多有2（n-2）个n次移出网格的，否则方向会相对。四个角最多有三个，如果有四个也出不去。所以最多有2n-1个。举例：第一行和最后一列方向全向下，第一列和最后一行剩余的全向右。同理n-1次移动出去的最多也为2n-1，但是这2n-1个里有两个是n次出去的，为了尽可能使移动次数多，这两个要n次出去不能n-1次出去，所以n-1次移动出去的汽车最多为2n-3个，同理n- 2次移动出去的最多为2n-5。所以移出所有汽车的最多次数为（1+2*3+3*5+···+n*(2n-1)）。下面给出一个最多次数的例子：方格表左上-右下对角线的右上侧部分（包括对角线）方向为下，左下侧部分（不包括对角线）方向向右。