2022伊朗数学奥林匹克 第二轮 第二天 第四题

给定一个n*n的方格表, 其中有部分方格染黑色，剩余方格染白色 (可以不存在白格).对于甲每次操作, 可以选取一恰有一个黑格的行, 并将该黑格所在列上的所有方格染成红色;对于乙每次操作，可以选择一恰有一个黑格的列, 将该黑格所在行上的所有方格染成红色.

证明：若甲可以通过独立操作将方格表完全染为红色, 则乙也可以通过独立操作将方格表完全染为红色.

 

 

证明：

易知交换行/列不会影响结果。若甲可以通过独立操作将方格表完全染为红色，则原方格表必然可以通过交换行/列变为以下情形：

其中对角线右/上侧区域无白格子，左/下侧区域染色情况没有限制（任一格子染成白色、黑色皆可）。而这种情况乙可以通过独立操作将方格表完全染为红色（从最下方的一行，一行一行从下往上染）。

证毕。