2021年欧洲杯数学奥林匹克（高中组）第一题

甲在平面内画一个正2021边形，乙给每个顶点标上一个实数，使得任意相邻两顶点所标的数之差不超过1。接着，若非相邻两顶点所标的数之差不超过1，则甲画一条连接该两点的对角线，按照这种方式，甲画出所有符合条件的对角线，求所画对角线条数d的最小值。

 

 

问题可以等价为：在一个二维坐标系里，对于X=1,2,3···2021，每个相邻的X对应的Y值之差不超过1，特别的，认为X=1与X=2021是相邻的。从X=1开始做每个点对应的Y-1、Y+1两条直线，n等于在两条直线内（包括直线本身）除去该点以及与该点相邻的点之外的所有点的数量。d等于所有n的和的一半，求d的最小值。

2021个点可以看作一个函数，因为Y(x=1)与Y(x=2021)相差不超过1，所以对于所有非最值、非与最值点相邻的点，易知n最小为2。对于所有与最值点相邻的点，易知n最小为1，对于所有最值点，易知n最小为0。如果存在多个最大、小值点（Y值相同），如果存在两个最大、小值点且相邻，那么对于这两个点，n少了2，但对于这两个点相邻的点，n多了2，所以对n的数量没影响。对于多个最大、小点（Y值相同）的其他情况，易知n比单最值要大。即n最小值在单最值时取得。 单最值时，对于最值点，n最小为0，对于与最值点相邻的点，n最小为1，对于其他点，n最小为2。所以n<=4034，d<=2017。下面给出一个d=2017的示例：

X(1)=0，X(2)=1， ··· X(1010)=1009，X(1011)=1009.5，X(1012)=1008.5，···X(2021)=-0.5   这种情况下d=2017。

 

 

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上述是原答案。然而在我看了标准答案后发现d=2018。检查后我发现了问题所在，原答案的问题在于对与最值点相邻的两个点的n判断有误，其他的分析都是没问题的（n<=4034，d<=2017是手误打错大于、小于号了，应该是n>=4034，d>=2017）。现在对原答案进行修正：

若最值点不相邻，对于与最值点相邻的两个点，n的和最小为3（可按这两个点的值是否相同进行讨论）。

如果存在两个最大、小值点且相邻，那么对于这两个点以及这两个点相邻的两个点，n之和最小为7，而如果这两个最值点只有一个是最值，另一个比它小，那么这四个点的n之和最小为5。

给的示例是没问题的，只不过示例的d=2018。

所以本题答案就是2018（因为单最值时理论上的最小值是可以取到的，而其他情况的理论上的最小值大于单最值时理论上的最小值，所以单最值时理论上的最小值就是实际的最小值）