第84届莫斯科数学奥林匹克9年级第3题

9.3.如图1所示,在4×5方格表的30个结点上各有一个灯泡.开始时它们都未亮着.每一步允许任作一条不接触灯泡(将灯泡视为点)的直线,该直线的一侧的灯泡全都未亮,并点亮该侧的所有灯泡.每一步至少要求点亮一个灯泡.能否刚好用四步点亮所有灯泡?

 

 

 

 

答：不能。一条直线会将方格表分成两部分，灯泡全都未亮的一侧形状为三角形、四边形、五边形，且其有2、3、4条边在方格表的四条边上。假设可以用四步点亮，不妨令下图中红色的线为第一条直线，且点亮了左侧的所有灯泡。

 

 

 

之后还要画三条直线（直线有可能是重合的），点亮右侧的所有灯泡，由于每条直线最少点亮一个灯泡，所以右侧可以分成三个部分，形状为三角形/四边形/五边形，且其有2/3/4条边在方格表的四条边上。由于右侧不可能分成形状为三角形/四边形/五边形，且其有2/3/4条边在方格表的四条边上的三个部分，所以假设不成立，所以不可能刚好用四步点亮所有灯泡。