2021年美国第二届圣诞数学奥林匹克

1.有一个由2021个单元格组成的几何图形,满足如下条件:每个单元格至少与另一个单元格有公共边(我们称有公共边的单元格为相邻的);从任意一个单元格出发,可以经过若干个相邻的单元格到达任意另个单元格;每个单元格被染成白色或黑色,且任意两个相邻的单元格颜色不同.求黑色单元格个数的最大值.

 

 

 

 

 

 

答：1516.

先证明：如果具有a个白色格子的几何图形最多有4a+1个格子，则具有a+1个白色格子的几何图形最多有4a+5个格子。

假设具有a+1个白色格子的几何图形的格子数大于4a+5，即>=4a+6，在其内部处找到一个只有一个黑色相邻格子与其它白色格子共享（该几何图形内肯定具有只有一个黑色相邻格子与其它白色格子共享的白色格子：反证法，假设没有，则所有的白色格子都至少2个黑色相邻格子与其它白色格子共享，黑色格子数=每个白色格子相邻的黑色格子数相加-黑色格子被重复计算的次数。由于每个白色格子相邻的黑色格子数相加至多有4a+4个，且当a+1个白色格子中a-1个白色格子有2个黑色相邻格子与其它白色格子共享、2个白色格子只有1个黑色相邻格子与其它白色格子共享时黑色格子被重复计算次数为a，所以该几何图形的黑色格子数至多为4a+4，矛盾。）的白色格子，令其单独相邻的黑色格子数为c，易知c<=3，将该白色格子和与其单独相邻的黑色格子去掉，剩下的具有a个白色格子的几何图形的格子数>=4a+2，与已知矛盾，所以具有a+1个白色格子的几何图形最多有4a+5个格子。

由于具有1个白色格子的几何图形最多有5=4*1+1个格子，所以具有2个白色格子的几何图形最多有9个格子，具有n个白色格子的几何图形最多有4n+1个格子，具有505个白色格子的几何图形最多有2021个格子。所以由2021个单元格组成的几何图形最少有505个白色格子，最多有1516个黑色格子。下面举出1516个黑格子示例：

 

1是黑 0是白