2021波兰数学奥林匹克第二轮第一题

杰克将n张分别写有1,2,.. . , n的卡片按任意顺序排成—列放在桌面上.派将每张卡片染成红色,黄色，蓝色之一.随后,杰克从1开始,按卡片上的数字从小到大的顺序依次取走这些卡片.求证:对任意放置方法,派都可以选择合适的染色方式,使得在杰克取走卡片的过程中,任意时刻,任意两张同色的卡片之间必有至少一张其他颜色的卡片.

 

 

 

问题等价为：按卡片上的数字从大到小的顺序依次放上卡片,任意时刻,任意两张同色的卡片之间必有至少一张其他颜色的卡片。

放的前两张卡片（n、n-1）只要二者颜色不同即可。从第三张要放的卡片（n-2）开始，假设放上卡片之前，已满足任意两张同色的卡片之间必有至少一张其他颜色的卡片。如果要放的卡片位置在所有已放上卡片的外部，则只要新卡片的颜色与其相邻的那个卡片颜色不同，则放上新卡片后，必满足任意两张同色的卡片之间必有至少一张其他颜色的卡片；如果要放的卡片的位置在所有已放上卡片的内部，则只要新卡片的颜色与其相邻的两张卡片颜色不同，则放上新卡片后，必满足任意两张同色的卡片之间必有至少一张其他颜色的卡片。当放上n张卡片后，卡片全部回到原位置。在放置卡片的过程中，任意时刻,任意两张同色的卡片之间必有至少一张其他颜色的卡片。证毕。