第55届IMO 第2题

设n≥2为一个正整数，考虑由n²个单位正方格构成的n*n的正方形棋盘，一种放置n个棋子“车”的方案被称为和平的，如果每一行每一列上正好有一个“车”．求最大的正整数k，使得对于任何一种和平放置n个棋子“车"的方案，都存在一个k×k的棋盘使得它的单位正方格中都没有“车”。

 

经分析易知，若某一种放置方案是和平的，那么交换棋盘的任意两行/列得到的新方案也是和平的。

当n为奇数时：

假设k>=(n+1)/2, 那么对于任何一种和平放置n个棋子“车"的方案，都肯定存在一个(n+1)/2*(n+1)/2的棋盘使得它的单位正方格中都没有“车”，若要想每一行每一列上最多有一个“车”，那么车的数量最多是n-1个，也就是说放不了n个车，所以假设不成立，所以k<=(n-1)/2,当车放在棋盘主对角线上时，总棋盘左下角和右上角都有一个(n-1)/2*(n-1)/2的棋盘中没有车，所以k=(n-1)/2.

当n为偶数时：

假设k>=n/2+1,同理也可推出矛盾，得到k=n/2。

综上，当n为奇数时，k=(n-1)/2；当n为偶数时,k=n/2.