2009年哈萨克斯坦国际数学奥林匹克 第二天第六题

在17x17的方格表中，把n个小方格（1*1的正方形）染上黑色.此后每一次做以下三种操作之一:

1）若某行中至少有6个小方格染上黑色，则可将该行的所有小方格染上黑色.

2 ) 若某列中至少有6个小方格染上黑色，则可将该列的所有小方格染上黑色.

3）若某条对角线(有两个对角线)上至少有6个小方格染上黑色，则可将该对角线上的所有小方格染上黑色.

求n的最小值，使得进行若干次操作后17X17的方格表中所有的小方格都染上黑色.

 

经分析易知开始时必然有一行/列/对角线有至少6个小方格是黑的，否则无法进行操作。要想n取尽量小，绝对不能把那些不必要的、没有“好”作用的格子染黑。

假设初始时某一行/列/对角线有至少6个小方格是黑的，下一步操作就是把该行/列/对角线染黑。在染黑该行/列/对角线之后，此时除了该行/列/对角线之外，还必须有一行/列/对角线有至少6个小方格是黑的。然后再染黑有至少6个小方格是黑的那一行/列/对角线···· 直到全部的行/列/对角线上都至少有6个小方格染上黑色，此时可把全部小方格染黑，任务完成。经过分析易知，只有在以下三种情况时，n才可能取得最小值。下面对这三种情况分别讨论。

第一种情况：当恰好全部的行/列/对角线上都至少有6个小方格染上黑色时，两条对角线没有被全部染黑。经分析可知此时必然有某6行或某6列全部被染黑。不妨假设此时有某6行全部被染黑。分析在这种情况下n的最小值。这种情况下又可以分为两种情况： 第1种是没有任何一列被全部染黑。这种情况下N取得最小值：6*6=36。第2种是至少存在1列被全部染黑。经过简单的模拟和计算可知，这种情况下N的最小值与第一种情况相同，也是36，只不过得到的方法不同，如当有1列被全部染黑时，min N=6+5+5*5=36。所以第一种情况n最小值为36。

第二种情况：当恰好全部的行/列/对角线上都至少有6个小方格染上黑色时，有一条对角线没有被全部染黑，另一条被全部染黑。经分析可知此时必然有某5行或某5列全部被染黑。不妨假设此时有某5行全部被染黑。这种情况下又可以分为两种情况： 第1种是没有任何一列被全部染黑。第2种是至少存在1列被全部染黑。经过证明可知（由于证明过程比较啰嗦和繁琐，就不在此赘述）这两种情况都可以等效为先染黑某一条对角线，再染黑某五行，此时n取得最小值：6+5*5=31。即在第二种情况下的n的最小值为31。

第三种情况：当恰好全部的行/列/对角线上都至少有6个小方格染上黑色时，两条对角线都被染黑。经分析可知此时必然有某4行或某4列全部被染黑。不妨假设此时有某4行全部被染黑。这种情况下又可以分为两种情况： 第1种是没有任何一列被全部染黑。第2种是至少存在1列被全部染黑。经过证明可知（由于证明过程比较啰嗦和繁琐，就不在此赘述了）这两种情况都可以等效为先染黑两条对角线，再染黑除了中间行之外的某四行，此时n取得最小值：6+5+4*4=27。即在第三种情况下的n的最小值为27。

综上所述，min N=27