白俄罗斯数学奥林匹克组合题

 在城市中心有一个由1*1的方砖铺成的 n*m 的矩形广场。为了照亮整个广场，需要安装一些恰有一个照明灯的灯柱。灯柱只能安装在方砖的角上，包括广场边界方砖的角上。灯柱上的照明灯恰只能照亮这个角所临的方砖。求最少安装多少个灯柱，使得即便有一个照明灯损坏也能照亮整个广场。

 

可以想象一个n*m的方格，方格里有n*m个小正方形。小正方形的四个角都可以放灯柱。如果每个小正方形的四个角里都至少有两个角有灯柱，那么即便有一个照明灯损坏也能照亮整个广场。

 

 首先考虑1*n的情况。上图：n为偶数4 下图：n为奇数5

对于上图，考虑1和3。1的四个角至少有两个灯。3的四个角至少有两个灯，并且1和3的灯是不可能共用的，因为1 3没有公共定点，所以想要1 3满足条件，最少要4盏灯。不妨让灯出现在上图画圈的地方，发现如果灯这么安装，不仅1 3满足条件，整个1*n的广场都满足条件。推广可得，1*n（n为偶数）的最少灯为n

对于上图，考虑1、3、5。因为1、3、5的灯是不可能共用的，所以想要1 3 5满足条件，最少要6盏灯。不妨让灯出现在上图画圈的地方，发现如果灯这么安装，不仅1 3 5满足条件，整个1*n的广场都满足条件。推广可得，1*n（n为奇数）的最少灯为n+1

 

 

 考虑n、m均为奇数的情况。对于1、3行来说，两行没有公共的顶点，所以灯不能共用。对于第1行，想要使该行满足题意，最少需要6个灯，同理，对于3行，也需要6盏灯。所以对于整个广场来说，至少需要12盏灯。当灯的位置如上图圆圈所示时，正好是12盏灯，并且可以让整个广场都满足条件，所以最少灯数就是12。 推广一下，可得当n、m均为奇数时，所需灯最少为（m+1）(n+1) / 2。

 

 考虑n为偶数m为奇数的情况。对于1、3行来说，两行没有公共的顶点，所以灯不能共用。对于第1行，想要使该行满足题意，最少需要4个灯，同理，对于2行，也需要4盏灯。所以对于整个广场来说，至少需要8盏灯。当灯的位置如上图圆圈所示时，正好是8盏灯，并且可以让整个广场都满足条件，所以最少灯数就是8。 推广一下，可得当n为偶数m为奇数时，所需灯最少为  n（m+1） / 2。

 

 对于n、m全为偶数时，就没那么简单了。如果还按之前的方法，把第1 3列单独考虑，会得到最少的灯数>=4。但实际的最小灯数是5。原因就在于4是偶数，4/2是整数，这就决定了按原来的思想考虑会使某些方块没有两盏灯照。

那对于上图的2*4的矩形，最少的灯数 5 是怎么得到的呢？  假设一个灯在一个方块里产生的亮度为1，所以a、e处的灯产生的亮度都为2，b、c、d产生的亮度为4，大矩形4个顶点处的灯亮度为1。对于上图，一共有8个方块，所以灯需要产生的最小亮度为16。首先考虑第一列，b处必须有灯。因为b点的“功能”最多，“辐射”的范围最广，所以b必须用。下面以8*10的分析一下过程：

首先考虑左上角的（1，1）方块。该方块的四个角至少有两个点有灯。我先证明在满足题意的安装灯柱最少的安装策略中点1,1处肯定有灯：假设1,1点没灯，那么一共有4种情况，分别是点0,0、点0,1、点1,0有灯；点0,0、点0,1有灯；点1,0、点0,1有灯；点0,0、点1,0有灯；因为0,0点只能照一个方块，与另两个点比毫无优势。并且这三点全亮灯没有其他意义反而多了一盏灯，所以只可能是点1,0、点0,1有灯。我们再引入1,0 1,1亮 0,1、1,1亮两种情况。方案1,0 1,1与1,0 0,1相比，不同点就是0,1 和1,1。点0,1可以让块1,1 1,2亮，点1,1,可以让块1,1 1,2 2,1 2,2亮。所以点1,1的“功能”完全包括了点0,1的“功能”。所以方案1,0 1,1优于方案1,0 0,1。同理方案0,1 1,1优于方案0,1 1,0。但是1,0 1,1与0,1 1,1无法比较好坏。下面我们对这两种方案进行分析。

0,1 、1,0 ：

 

 

对于2,1方块而言，其四个顶点必然有两个有灯。因为点1,1有灯了，所以要判断剩下三个点里哪个点肯定有灯。因为点2,1功能最多且包括了其他点的功能，所以点2,1是最优点，所以点2,1肯定有灯亮。同理点2,2  、2,3 、 2,4 ···2,10肯定都有灯亮。

 

 

接着分析块1,3  经过和之前类似的分析可知，块1,3有两种方案，一个是点0,3、1,3 另一个是点1,2、 1,3 。我们假设方案点1,2、 1,3优于点0,3、1,3。接下来分析块3,3，对于块3,3而言，候选的方案有点2,3、3,3和点3,2、 3,3假设点2,3、3,3更优。再分析块4,3。可得点4,3必亮灯，继续分析块5,3、···10,3可得点5,3···10,3必亮灯。容易观察得方案点1,2、 1,3差于点0,3、1,3，与“已知”矛盾（此已知不是真正的已知，而是我们假设的已知）。所以假设不成立，所以点3,2、 3,3更优，同理，点5,2 5,3更优、点7,2、7,3   点9,2、 9,3更优。然后再往右走，用同样的判断方法，最后可得到在选择点0,1 1,1 1,2 1,3时最终的方案如下图。

同理可得在选择点0,1 1,1 1,3, 0,3时最终的方案如下图。

从这两种情况就能得到选择点0,1、1,1的最少灯数。  、

方案点1,0 1,1分析方法与点0,1 1,1分析方法相同，在得到 点1,0 1,1的最小灯数后，两者之间的较小值就是最后答案。 推广至n*m n、m均为偶数。最少灯数为  min(n,m)/2*（max(n,m)+1）

其实可以在一开始就假设点0,1 1,1比点1,0 1,1更优，可直接得到，省了中间一大步。但是为了方便自己理解，多讲中间几步也是可以的。