[数据结构-划分树小结]

划分树是一种基于线段树的数据结构。主要用于快速求出(在log(n)的时间复杂度内）序列区间的第k大值。

先看下图已经建好的划分树是什么样子的，原始数组是[1,5,2,3,6,4,7,3,0,0]，并把它作为树的第0层，然后把这些数中较小的数再组成[1,2,3,0,0]，顺序还是遵照原数组的顺序，同样将较大的数再组成[5,6,4,7,3]。把这两个数组作为树的第二层，它们的父亲则是第一层的原始数组，这样一直往下建立，就把划分树建好了。

那么到底如何建立这个划分树呢？例如如何将[1,5,2,3,6,4,7,3,0,0]分为[1,2,3,0,0]和[5,6,4,7,3]两部分？

设[1,5,2,3,6,4,7,3,0,0]为数组A，长度为len。

首先预处理将数组A排序：[0,0,1,2,3,3,4,5,6,7]，然后在A中分别找到“0,0,1,2,3”这(len/2)个数，并按数组A的顺序放到下一层[1,2,3,0,0]。可以发现，这一操作的复杂度是O(len)。

下面看如何查询在某一区间内的第k小的数。仍然观察下图，要查找区间[3,9]中第2小的数，先标记在原数组A中[3,9]这个区间（数组下标从1开始），即val[0]层涂上黄色背景的部分，现在我们如何知道这个黄色背景的部分在下一层如何分布呢？这里就需要用到一个数组toleft[ ][ ] ，toleft[dep][i]表示下标小于等于i的数中在第dep层中分在其左孩子的个数。

比如图中val[0]这一层中，toleft[0][1]=1,toleft[0][2]=1,toleft[0][3]=2…..。这样的话就可以利用toleft数组来确定黄色背景区域在下一层如何分布了。可以确定[3,9]区间在左孩子的有left[0][9]-left[0][3]=3个，所以最终结果肯定在左孩子中找了。当然在这个左孩子中，要排除掉蓝色背景部分的1,0，就顺利得到下一步要在第二层查找的是：区间[2,4]的第2小的数。依次类推，得到最终结果。

图片摘自http://www.cnblogs.com/pony1993/archive/2012/07/17/2594544.html

/*
* 划分树（查询区间第k大）
*/
const int MAXN = 100010;
int tree[20][MAXN];//表示每层每个位置的值
int sorted[MAXN];//已经排序好的数
int toleft[20][MAXN];//toleft[p][i]表示第i层从1到i有数分入左边
void build(int l,int r,int dep)
上海大学 ACM 模板 by kuangbin
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{
    if(l == r)return;
    int mid = (l+r)>>1;
    int same = mid - l + 1;//表示等于中间值而且被分入左边的个数
    for(int i = l; i <= r; i++) //注意是l,不是one
        if(tree[dep][i] < sorted[mid])
            same--;
    int lpos = l;
    int rpos = mid+1;
    for(int i = l; i <= r; i++)
    {
        if(tree[dep][i] < sorted[mid])
            tree[dep+1][lpos++] = tree[dep][i];
        else if(tree[dep][i] == sorted[mid] && same > 0)
        {
            tree[dep+1][lpos++] = tree[dep][i];
            same--;
        }
        else
            tree[dep+1][rpos++] = tree[dep][i];
        toleft[dep][i] = toleft[dep][l-1] + lpos - l;
    }
    build(l,mid,dep+1);
    build(mid+1,r,dep+1);
}
//查询区间第k大的数,[L,R]是大区间，[l,r]是要查询的小区间
int query(int L,int R,int l,int r,int dep,int k)
{
    if(l == r)return tree[dep][l];
    int mid = (L+R)>>1;
    int cnt = toleft[dep][r] - toleft[dep][l-1];
    if(cnt >= k)
    {
        int newl = L + toleft[dep][l-1] - toleft[dep][L-1];
        int newr = newl + cnt - 1;
        return query(L,mid,newl,newr,dep+1,k);
    }
    else
    {
        int newr = r + toleft[dep][R] - toleft[dep][r];
        int newl = newr - (r-l-cnt);
        return query(mid+1,R,newl,newr,dep+1,k-cnt);
    }
}
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        memset(tree,0,sizeof(tree));
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d",&tree[0][i]);
            sorted[i] = tree[0][i];
        }
        sort(sorted+1,sorted+n+1);
        build(1,n,0);
        int s,t,k;
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d",&s,&t,&k);
            printf("%d\n",query(1,n,s,t,0,k));
        }
    }
    return 0;
}