Tarjan缩点学习笔记
前置知识
强连通分量，就是图上的环
用途
\(Tarjan\) 缩点就是在图上找强连通分量的算法。
思想
用 \(dfs\) 去搜索一个图，不搜搜过的节点，首先搜出来的是一棵树，然后这棵树肯定不会有横叉边，因为如果有横叉边的就可以继续沿横叉边搜下去。所以这样搜出来的树肯定只有返祖边，只要有返祖边就会有一个强连通分量（就是一个环）。 \(Tarjan\) 缩点算法就是通过在 \(dfs\) 的时候通过打时间戳来找返祖边，进而找到强连通分量的。
因为如果有返祖边，那么可以到达的时间最小的点肯定小于当前点的时间戳，所以我们就可以通过打时间戳来找返祖边。
算法流程
如图
- 红色代表第一次找到第一个返祖边的过程
- 粉红色代表回溯并更新 \(low\) 数组的过程
- 蓝色代表再次找另一个返祖边的过程（因为 \(dfs\) 搜到底的特性，所以不会缩点，会继续搜下去）
- 绿色代表再次回溯更新 \(low\) 数组的过程
- 棕色代表再次寻找返祖边
- 没有找到，对棕色部分进行缩点
- 然后一直回溯到 \(low=dfn=1\) ，对紫色部分进行缩点
寻找操作和回溯更新操作
if (!dfn[ed[i].e])
{
Tarjan(ed[i].e);
low[x]=min(low[x],low[ed[i].e]);
}
找的返祖边更新low的操作
else if (mark[ed[i].e])
low[x]=min(low[x],dfn[ed[i].e]);
缩点操作
if (low[x]==dfn[x])
{
int k;
++sum;
do {
k=st.top();
st.pop();
mark[k]=0;
pointsz[sum]++;
color[k]=sum;
} while (k!=x);
}
因为 \(low[x]==dfn[x]\) 所以已经到达了当前栈顶到现在的点所能到达的深度最浅的祖先，证明如果再往上回溯当前强连通分量里的点将无法到达，把到这个点以前栈里所有点染同一种颜色，表示在同一个强联通分量里。
因为要把当前的点也从栈里弹出来，所以要用 \(do\) \(while\) 的循环形式，先弹再判断。
\(Q:\) 为什么要用 \(mark\) 数组单独标记在不在栈里面呢？？
\(A:\) 例子：如图当一个正在缩点的点指向一个已经缩完的点集时，如果没有 \(mark\) 数组单独标记，就会把 \(low\) 的值更新为一个在回溯时永远也到不了的值，完成不了这个点所在点集的缩点。
例题
P2863 牛的舞会
就是找大于 \(1\) 的强连通分量的个数。
#include<bits/stdc++.h>
#include<stack>
using std::min;
using std::stack;
const int N=1e4+100,M=5e4+100;
struct edge{
int s,e,net;
}ed[M];
stack<int>st;
int n,m,tot,sum,idx;
int head[N],dfn[N],color[N],low[N],pointsz[N];
bool mark[N];
inline void Tarjan(int x)
{
st.push(x);
mark[x]=1;
dfn[x]=low[x]=++idx;
for (int i=head[x];i;i=ed[i].net)
if (!dfn[ed[i].e])
{
Tarjan(ed[i].e);
low[x]=min(low[x],low[ed[i].e]);
}
else if (mark[ed[i].e]) low[x]=min(low[x],dfn[ed[i].e]);
if (low[x]==dfn[x])
{
int k;
++sum;
do {
k=st.top();
st.pop();
mark[k]=0;
pointsz[sum]++;
color[k]=sum;
} while (k!=x);
}
return ;
}
inline void add(int s,int e)
{
ed[++tot]=(edge){s,e,head[s]};
head[s]=tot;
return ;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int s,e;
scanf("%d%d",&s,&e);
add(s,e);
}
for (int i=1;i<=n;i++)
if (!dfn[i]) Tarjan(i);
int ans=0;
for (int i=1;i<=sum;i++)
if (pointsz[i]>1) ans++;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
P2341 [HAOI2006]受欢迎的牛
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<stack>
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=5e4+1;
int n,m,tot,idx,sum;
stack<int>s;
int head[N],color[N],dfn[N],dnum[N],start[N],low[N];
bool mark[N];
struct edge{
int s,e,next;
}ed[M];
void tarjan(int x)
{
low[x]=dfn[x]=++idx;
s.push(x);
mark[x]=1;
for (int i=head[x];i;i=ed[i].next)
if (!dfn[ed[i].e])
{
tarjan(ed[i].e);
low[x]=min(low[ed[i].e],low[x]);
}
else if (mark[ed[i].e])
low[x]=min(low[x],dfn[ed[i].e]);
if (low[x]==dfn[x])
{
++sum;
int k;
do
{
k=s.top();
s.pop();
mark[k]=0;
color[k]=sum;
dnum[sum]++;
}while (k!=x);
}
return ;
}
inline void add(int s,int e)
{
ed[++tot]=(edge){s,e,head[s]};
head[s]=tot;
return ;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int s,e;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&s,&e);
add(s,e);
}
for (int i=1;i<=n;i++)
if (!dfn[i]) tarjan(i);
for (int i=1;i<=tot;i++)
if (color[ed[i].s]!=color[ed[i].e])
start[color[ed[i].s]]++;
int num=0,ans;
for (int i=1;i<=sum;i++)
{
if (!start[i])
{
num++;
ans=i;
}
if (num>=2)
{
printf("0\n");
return 0;
}
}
printf("%d",dnum[ans]);
return 0;
}
