欧拉函数

欧拉函数:

定义：用于计算 p(n)，比n小的所有与n互质的数。

计算公式：p(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)....*(1-1/pk)【p1,p2,pk都是n的素因子】

另：若n=p1^q1*p2^q2*.....*pk^qk

则，p(n)=(p1-1)*p1^(q1-1)*(p1-1)*p2^(q2-1)......*(pk-1)*pk^(qk-1)

int euler(int n)//返回euler(n)
{
     int i;
     int res = n,a = n;
     for(i = 2;i*i <= a; ++i)
     {
         if(a%i == 0)
         {
             res -= res/i; //p(n) = (p - p/p1)(1 - 1/p2)......
             a/=i;
         }
     }
     if(a > 1) res -= res/a;//存在大于sqrt(a)的质因子
     return res;
}
时间复杂度为根号n；

 

性质：若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

fai(10)=4...1,3,7,9;fai(5)=4...1,2,3,4;

欧拉定理：

a,m互质，a^φ(m)≡1(mod m)

例：2,3互质，那么，2^2%3=1

推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)

 欧拉公式的延伸：小于n 与n互质的数的和 是euler(n)*n/2(小数，如5/2=2.5）；