二分图相关

最小点覆盖：选择一些点，使得每条边连接的两个至少有一个被选中，使这个点集最小。

最小点独立集：选择一些点，使得它们都不相邻，使这个点集最大。

定理 $1$（König 定理）：二分图中最大匹配数等于最小点覆盖。

容易发现最小点覆盖一定最大匹配数，因为每个匹配的边 $(u,v)$ 都需要 $u$ 或者 $v$ 被覆盖。

考虑如何构造出一个方案使得最小点覆盖等于最大匹配数。首先先跑最大匹配，对于右边的未匹配点跑增广路，对所有经过的点标记，包括首尾。选择左部标记的匹配点和右边未被标记的匹配点。

为什么是正确的？首先匹配边连接的两个点要么都是被标记的要么都没被标记，所以选择的点数等于最大匹配数，并且所有匹配边都被覆盖了。因为跑的是增广路，所以，从左部匹配点连向右边未匹配点的边也被覆盖了。

那只剩下左部匹未配点连向右边未匹配点的边，和左部未匹配点连向右边匹配点的边，前者不可能存在，因为若存在就可以增加最大匹配数，后者若连接的是标记点，那么可以通过增广增加最大匹配数，若连接的是未标记点，会被右边的点覆盖。即该构造方案是正确的。

定理 $2$：$\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{点}\mathrm{独}\mathrm{立}\mathrm{集}=n-\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{点}\mathrm{覆}\mathrm{盖}$。

明显最大点独立集可以是最小点覆盖的补集，因为在最小点覆盖中每条边至少有一个点被选，那么再最大点独立集中每条边至多有一个点被选。

定理 $3$（Hall 定理）：对于一个二分图，对于一个左部点集 $S$，设它们所连的右部点集为 $T$，只有任意的点集 $S$ 都满足 $|S|\le |T|$，该图才有完美匹配。

必要性：明显若一个点集 $S$ 满足 $|S|<|T|$，明显不可能实现完美匹配。

充分性：假设一个二分图满足 Hall 定理却没有完美匹配，先对其跑最大匹配。

• 选择一个未匹配点 $a$，根据 Hall 定理，它一定会连向一个点 $b$。若 $b$ 是未匹配点，可以将 $a$ 和 $b$ 匹配，不满足最大匹配。否则 $b$ 会和一个点 $c$ 匹配。
• 根据 Hall 定理，肯定会有一个点 $d$ 连向 $a,c$ 中的一个。若 $d$ 是未匹配点，可以跑增广路，不满足最大匹配。否则 $d$ 会和一个点 $e$ 匹配。
• 一直连向 $f,g\dots$。

由于图有限，中间要么违背 Hall 定理，要么出现可以增广的现象。故该定理正确。