神秘数论题：半完全幂

第一次见是在 gj 的 NOIP 模拟赛，但当时感觉太屎。前几天 gj 又在省选模拟赛中放了一次？比较疑惑。

题面

如果一个数可以被表示成 \(k\times a^b\)（ \(b\ge2,k<a\)），那么称它为半幂数。求出 \(l\) 到 \(r\) 中半幂数个数。

\(l\le r\le 8\times10^{16}\)。

题解

为了版面下文的向下取整省略。

半幂数只用统计 \(b=2,3\) 的情况，因为 \(b\ge 4\) 可以用 \(b=2,3\) 的形式表示。如果 \(b\) 为偶数，则可以用 \(k\times (a^{b/2})^2\) 表示，如果 \(b\) 为奇数（\(b=2B+1\)），则可以用 \(ka\times (a^{B})^2\)。

计数可以使用差分，即求出 \(\le r\) 的方案数减去 \(\le l - 1\) 的方案数。设 \(f_k(x)=[x没有幂次为k的因数]\)。

考虑 \(b=2\) 的情况，方案数为

\[\sum_{k=1}^{\sqrt[3]n}f_2(k)(\sqrt{n/k}-k) \]

考虑 \(b=3\) 的情况，此时不能重复算到 \(b=2\)。探寻一下 \(k\times a^3\) 可以被 \(b=2\) 表示的条件，设 \(p^2\) 为 \(ak\) 最大平方因子，那么就可以表示为 \(\frac{ak}{p^2} \times (ap)^2\)，合法仅当 \(\frac{ak}{p^2} \le ap\)，即 \(k\le p^3\)。那么统计 \(b=3\) 时只用探寻 \(k>p^3\) 的情况即可。方案数即

\[\sum_{k=1}^{\sqrt[4]n}f_3(k)\sum_{p=1}^{\sqrt[3]k}\sum_{a=k+1}^{\sqrt[3]{n/a}}[k^2|ak]f_2(ak/p^2) \]

设 \(g=\gcd(k,p^2)\)，\(k_0=k/g\)，\(p_0=p^2/g\)。式子变为

\[\sum_{k=1}^{\sqrt[4]n}f_3(k)\sum_{p=1}^{\sqrt[3]k}\sum_{a=(k+1)/p_0}^{\frac{\sqrt[3]{n/a}}{p_0}}f_2(k_0a) \]

当 \(gcd(x,y)=1\) 时，\(f_2(xy)=f_2(x)f_2(y)\)，式子变为

\[\sum_{k=1}^{\sqrt[4]n}f_3(k)\sum_{p=1}^{\sqrt[3]k}f_2(k_0)\sum_{a=(k+1)/p_0}^{\frac{\sqrt[3]{n/a}}{p_0}}[gcd(a,k_0)=1]f_2(a) \]

设 \(S_d(n)=\sum_{i=1}^n f_2(di)\)，式子变为

\[\sum_{k=1}^{\sqrt[4]n}f_3(k)\sum_{p=1}^{\sqrt[3]k}f_2(k_0)\sum_{d|k_0}\mu(d)(S_d(\frac{\sqrt[3]{n/a}}{p_0d})-S_d(\frac{k}{p_0d})) \]

时间复杂度 \(O(n^{1/3}\log n)\)。

code

#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")
#include<cstdio>
#include<vector>
#define N 1000010
#define MAXN 500000
#define ll long long
using namespace std;
int isp[N], pri[N], mu[N], fzh[N], tot = 0;
int ch2[N];
vector<int>s[N], d[N];
ll sq2(ll x) { ll ml = 0, mr = 1e9; while(ml < mr) { ll mid = (ml + mr + 1) / 2; if(mid * mid <= x)ml = mid; else mr = mid - 1; } return ml; }
ll sq3(ll x) { ll ml = 0, mr = 1e6; while(ml < mr) { ll mid = (ml + mr + 1) / 2; if(mid * mid * mid <= x)ml = mid; else mr = mid - 1; } return ml; }
ll sq4(ll x) { ll ml = 0, mr = 2e4; while(ml < mr) { ll mid = (ml + mr + 1) / 2; if(mid * mid * mid * mid <= x)ml = mid; else mr = mid - 1; } return ml; }
int ch(int x, int k)
{
	while(x > 1)
	{
		int d = fzh[x], s = 0;
		while(x % d == 0)
		{
			x /= d;
			s++;
		}
		if(s >= k)return 0;
	}
	return 1;
}
void init()
{
	mu[1] = 1;
	for(ll i = 2; i <= MAXN; i++)
	{
		if(!isp[i])
		{
			pri[++tot] = i;
			mu[i] = -1;
			fzh[i] = i;
		}
		for(int j = 1; j <= tot && i * pri[j] <= MAXN; j++)
		{
			int v = i * pri[j];
			isp[v] = 1;
			fzh[v] = pri[j];
			if(i % pri[j] == 0)
			{
				mu[v] = 0;
				break;
			}
			mu[v] = -mu[i];
		}
	}
	for(int i = 1; i <= MAXN; i++)ch2[i] = ch(i, 2);
	for(int i = 1; i <= MAXN; i++)
	{
		s[i].push_back(0);
		for(int j = 1; i * j <= MAXN; j++)
		{
			d[i * j].push_back(i);
			s[i].push_back(s[i][j - 1] + ch2[i * j]);
		}
	}
}
ll gcd(ll a, ll b)
{
	if(b == 0)return a;
	return gcd(b, a % b);
}
ll query(ll x)
{
	if(!x)return 0;
	ll ans = 0, sq3x = sq3(x);
	for(ll a = 1; a <= sq3x; a++)
	if(ch(a, 2))
	{
		ans += sq2(x / a) - a;
	}
	ll sq4x = sq4(x);
	for(ll a = 1; a <= sq4x; a++)
	if(ch(a, 3))
	{
		ll sq3a = sq3(a);
		for(ll k = 1; k <= sq3a; k++)
		{
			ll g = gcd(a, k * k), ap = a / g, kp = k * k / g;
			if(ch(ap, 2))
			{
				for(int dd : d[ap])
				ans += mu[dd] * (s[dd][sq3(x / a) / kp / dd] - s[dd][(a - 1) / kp / dd]);
			}
		}
	}
	return ans;
}
void slove()
{
	ll l, r;
	scanf("%lld%lld", &l, &r);
	printf("%lld\n", query(r) - query(l - 1));
}
int main()
{
	init();
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while(t--)slove();
	return 0;
}