CF908D New Year and Arbitrary Arrangement 题解

Description

给定 $k,pa,pb$，有一初始为空的序列。

每次有 $\dfrac{pa}{pa+pb}$ 的概率往序列后面加一个 a。

每次有 $\dfrac{pb}{pa+pb}$ 的概率往序列后面加一个 b。

当出现大于等于 $k$ 个形如 ab 的子序列（a 和 b 不一定相邻）时停止。

求序列最终的 ab 子序列期望数。

Solution

为了更加简洁，文中的 $pa$ 指题意中的 $\dfrac{pa}{pa+pb}$，$pb$ 指 $\dfrac{pb}{pa+pb}$。

看到求期望，可以先试着写写 dp。

设 $f_{i,j,t}$ 表示有 $i$ 个 a、$j$ 个 b、$t$ 个 ab 时的期望。

发现当前有 $i$ 个 a 时，再加一个 b 会产生 $i$ 个 ab，与之前 b 的数量无关，所以省去一维 dp。

设 $f_{i,j}$ 表示有 $i$ 个 a、$j$ 个 ab 时的期望。

由于我们只知道终止状态，所以倒推会更好写且容易理解。

$f_{i,j}$ 有 $pa$ 的概率加 a 变为 $f_{i+1,j}$，有 $pb$ 的概率加 b 变为 $f_{i,j+i}$，得出转移方程：

$$f_{i,j}=pa\times f_{i+1,j}+pb\times f_{i,j+i}$$

答案即为 $f_{1,0}$。

接下来是本题最难部分，求满足终止条件的 $f$ 值。

终止条件为 $i+j\ge k$，此时只要再加一个 b 就可以终止。

然而在加 b 前可能有若干个 a，无法确定 a 的数量，所以要开始推式子。

Sol1

这种方法用了等比数列的思想。

$$f_{i,j(i+j\ge k)}=i+j+\sum\limits_{x=0}^\infty pa^x\times pb\times x$$

$x$ 为 a 的出现次数，a 每多在 b 前出现一次，最后的 ab 就会多一个，所以总共加了 $i+j+x$ 个 ab。

继续推：

$$=i+j+pb\times\sum\limits_{x=0}^\infty pa^x\times x$$

$$=i+j+(1-pa)\times\sum\limits_{x=0}^\infty pa^x\times x$$

设 $T=\sum\limits_{x=0}^\infty pa^x\times x$。

$$\therefore pa\times T=\sum\limits_{x=1}^\infty pa^x\times (x-1)$$

$x$ 变为 $x-1$ 的原因是 $x$ 变为 $1$ 开始。

$$\because T=\sum\limits_{x=1}^\infty pa^x\times x+pa^0\times0=\sum\limits_{x=1}^\infty pa^x\times x$$

$$\therefore (1-pa)\times T=\sum\limits_{x=1}^\infty pa^x$$

设 $S=\sum\limits_{x=0}^\infty pa^x$。

$$\therefore pa\times S=\sum\limits_{x=1}^\infty pa^x$$

$$\because S=\sum\limits_{x=1}^\infty pa^x+pa^0=\sum\limits_{x=1}^\infty pa^x+1=T+1$$

$$\therefore (1-pa)S=pa^0=1$$

$$S=\dfrac{1}{1-pa}=T+1$$

$$\therefore T=\dfrac{1}{1-pa}-1=\dfrac{pa}{pb}$$

$$\therefore f_{i,j(i+j\ge k)}=i+j+\dfrac{pa}{pb}$$

Sol2

对于 $f_{i,j}$ 和 $f_{i+1,j}$（$i+j\ge k$）：

由于后面的 b 终止前，新的 a 产生的多余 ab 期望数都是一样的。

所以两期望的区别只有当前 a 相差 $1$ 造成的期望 $1$。

即 $f_{i+1,j}=f_{i,j}+1$。

$$\because i+j\ge k$$

$$\therefore f_{i,j+i}=i+j$$

$$\therefore f_{i,j}=pa\times(f_{i,j}+1)+pb\times(i+j)$$

$$(1-pa)\times f_{i,j}=pa+pb\times(i+j)$$

$$pb\times f_{i,j}=pa+pb\times(i+j)$$

$$f_{i,j}=\dfrac{pa}{pb}+i+j$$

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mo 1000000007
#define int long long
int k,a,b,pa,pb;
int f[1010][1010];
int po(int x,int y){
	int z=1;
	while(y){
		if(y%2) z*=x;
		x*=x;
		x%=mo,z%=mo;
		y/=2;
	}
	return z;
}
signed main(){
	cin>>k>>a>>b;
	pa=a*po(a+b,mo-2)%mo;
	pb=b*po(a+b,mo-2)%mo;
	for(int i=k;i>=1;i--){
		for(int j=k;j>=0;j--){
			if(i+j>=k){
				f[i][j]=pa*po(pb,mo-2)%mo+i+j;
				f[i][j]%=mo;
			}else{
				f[i][j]=f[i+1][j]*pa%mo+f[i][j+i]*pb%mo;
				f[i][j]%=mo;
			}
		}
	}
	cout<<f[1][0];
	return 0;
}