求最大公因数的若干方法

题目：设计出求解两个整数m和n的最大公因数，记为(m,n)

方法1：直接试探法

 依次取2~min(m,n)中的每个数来判断是否同时是m和n的公因子，最后一个满足条件的数即为所求的最大公因数。若没有找到，则其最大公因子为1。
 **算法分析**：由于要求最大公因数，不妨以函数求解。设函数为int hcf(int m,int n)，则该函数应有返回值，此处记为h；由于不满足判断条件（即两数互质）时，h没有经过迭代，故应将其值初始化为1。该函数最核心的部分为判断条件，当然这部分也不难：以外循环遍历2~min(m,n)的所有数，于是应设一循环变量i，循环体中用if语句判断i是否同时被m和n整除。
 以下为完整代码。

#include<iostream>
using namespace std;
int hcf(int m,int n)
{
    int h = 1;
    for(int i = 2;i <= min(m,n); i++)
        if(m % i == 0&&n % i == 0)
            h = i;
    return h;
}
int main()
{
    int m,n;
    cout<<"请输入m和n的值：";
    cin>>m;
    cin>>n;
    cout<<"m和n的最大公因数为："<<hcf(m,n)<<endl;
    return 0;
}

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性能分析：直接试探法简单易懂，然而，该方法时间性能不佳：由于要试探2~min(m,n)中的每个数是否是公因子，当m和n较大时试探的次数较多，比较费时；此外，当m和n有较多公因子时，也仅最后求出的公因子是所需要的解。
针对该问题，我们可以改变试探次序来加以改进，以下为函数代码块。

int hcf(int m,int n)
{
    int h = min(m,n);
    while(m % h != 0||n % h != 0)  //当出现公因子时即退出循环
        h--;
    return h;
}

性能分析：该算法在m和n存在较大公因子时效率较高，但同样在m和n互质时，试探次数便会大大增加，影响该算法的效率。

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方法2：质因子分解法

    该算法描述如下：从2开始，依次寻找整数m和n的当前的公因子，每找到一个公因子（记为h），则将m和n都整除h，从而得到新的m和n的值，重复上述步骤，将每一次得到的h都相乘，直到确定当前的m和n不存在公因子为止。
    以下为函数代码块。

int hcf(int m,int n)
{
    int h = 1,i = 2;
    while(i <= min(m,n))
        if(m % i == 0&&n % i == 0){
            m = m / i;
            n = n / i;
            h = h * i;
        }else
            i ++;
    return h;
}

性能分析：如果m和n有多个公因子，则函数求解的比较次数会急剧减少。然而，当m和n都较大并且公因子较少时，尤其是两数互质时，试探的次数将达到min(m,n).

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方法3：辗转相除法

该算法又被称为“欧几里德算法”。算法描述如下：设两数m和n(m>n)，置r=m%n，再令m=n，n=r，重复上述过程，直到r=0，此时所得的n即为最大公因数。
以下给出一个十分精妙的函数代码。

int hcf(int m,int n)
{
    if(m < n)return hcf(n,m);//保证m比n更大
    if(m % n == 0)return n;
    return hcf(n,m % n);//递归
}

性能分析：该方法无论m n是否互质都能快速求解出最大公因数，时间性能甚佳，是较为理想且最为常用的方法。

总结：通常一个问题有多种求解的算法，我们都应尽量熟练掌握，并学会分析不同算法的试用场合及其算法复杂度，以达到最优的求解目的，同时也能使我们对问题有了更深刻的理解。求最大公因数是一个非常基础的问题，但是所谓“万丈高楼平地起”，我们只有夯实基础，才能在编程之路上越走越远！