线段树和树状数组（1）

Preview：

终于到了喜闻乐见的线段树了，因为其灵活度较高，基本框架固定，深受像我这样喜欢水题的人的喜爱。

而至于为什么文章名叫“线段树和树状数组”呢，实际上我们可以把树状数组看做成没有右儿子的线段树，然后加的时候是直接进行的 pushup，然后这样树状数组是否就清晰多了呢？

板子：

因为本人太懒了，所以懒得打板子了。

详情可见树状数组 1、2，线段树 1、2，普通平衡树，可持久化线段树 1、2，线段树 3。

例题：

Preface:

为什么会有这一栏呢，原因是因为自己太懒了，懒得打代码，然后如果有什么题自己能直接口胡出来就写到这里口胡。

P2023 [AHOI2009] 维护序列（线段树 2）：

考虑线段树，维护两个 tag，加和乘。

乘的时候别忘了给加的 tag 也乘上。

千万别忘了取模。

先乘后加。

P1471 方差：

$trick$：拆式子

线段树，操作 1、2 都是经典操作，这里不多赘述。

重点考虑操作 3。

听起来不想很能维护的样子，但是这里面有个 $\text{trick}$，对于你认为不大可能维护的东西，我们可以尝试拆式子来分开维护：

对方差的公式拆个式子：

$$\begin{array}{rl}S(a)& ={\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n(a_i-\overline{a}{)}^2}{n}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{\overline{a}}^2-2\overline{a}\sum _{i=1}^n{a}_i+\sum _{i=1}^n{a}_i^2}{n}}\\ & ={\displaystyle \frac{n\cdot {\displaystyle \frac{(\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^2}{n^2}}-2\overline{a}\sum _{i=1}^n{a}_i+\sum _{i=1}^n{a}_i^2}{n}}\\ & ={\displaystyle \frac{(\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^2}{n^2}}-{\displaystyle \frac{2\overline{a}\sum _{i=1}^n{a}_i}{n}}+{\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}{n}}\\ & ={\overline{a}}^2-2{\overline{a}}^2+{\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}{n}}\\ & =-{\overline{a}}^2+{\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}{n}}\end{array}$$

所以我们可以清楚地看到，对于方差，我们只需要维护其区间和 sum 和平方和 sqrsum 即可。

然后就是注意精度。

P6327 区间加区间sin和：

我表示差角公式直接套版。

CDQZ Challenge 5：

有两种思路，先说第一种：

对于操作 $2$，我们可以观察一下，发现其本质是区间和的平方减去区间平方和再除以 $2$，所以让线段树维护区间和和区间平方和就可以了。

至于操作 $3$ 嘛，因为只是单点修改，所以怎么乱搞都可以过。

第二种是机房 $\text{gxd}$ 大神提出来的（膜拜大神 $\text{gxd}$）：

对于一个区间，我们维护两个值，分别是两两相乘的值和区间和，对于区间的合并，我们则有：

$$\text{合并出来的区间 = 原先两个区间的两两相乘值 + 两个区间的区间和相乘}$$

然后就做完了，毕竟是单点改，所以修改操作也是 $O(M\log n)$ 的。

以上两种的时间复杂度都是 $O(n\log n)$

PS：更多关于 CDQZ Challenge 的内容，可以看我的这篇博客

P4513 小白逛公园：

$trick$：区间连续段最值问题

考虑用线段树维护。

我们可以发现一件事情，若我们要合并两个区间，那么对于合并区间内的区间最大值来说，它要么是左区间最大值，要么是右区间最大值，要么既不是左区间最大值，也不是左区间最大值。

前两类十分好想，但是最后一类该怎么办呢？

考虑一下如果不是左区间最大值，也不是右区间最大值，那么可能存在的区域只可能会是两个区间的交界处，此时我们只需要维护一个前缀最大值和后缀最大值，然后将左区间的后缀最大值和右区间的前缀最大值拼接在一起，就是第三类情况。可以得证，这种拼接方式即使第三类最大值。

综上，对于每个线段树上的节点，维护前缀最大值，后缀最大值和区间最大值即可。

剩下就是板子了。

PS：可以去尝试一下 GSS 题目，十分小清新。

P7706 「Wdsr-2.7」文文的摄影布置：

$trick$：维护区间非连续点最值问题 $\iff$ 维护区间连续段最值问题

PS：上述的等价指的是方法等价

一道非常有意思的题目。

题目可以转化成如下问题：

$$\mathrm{\Psi }(l,r)=\underset{l<i<j<k\le r}{max}\{A_i+A_k-min(B_j)\}$$

显然，原式可以直接转化为：

$$\mathrm{\Psi }(l,r)=\underset{l<i<j<k\le r}{max}\{A_i-B_j+A_k\}$$

证明显然。

此时，我们思考如何从子区间合并上来。

还是依照 P4513 的思路，考虑最优的答案会出现在哪里。

则显然，父区间的答案只会在左区间答案、右区间答案、区间交界处答案取到。

左右区间的答案可以直接维护，但是区间交界处我们就得需要分类讨论了。

首先，因为答案分散在两个区间，所以 $A_i$ 和 $A_k$ 此时显然就不在同一个子区间内，故我们只需要考虑 $B_j$ 会在哪个区间内就行了。

此时，对于两个子区间，就需要维护如下式子：

$$\begin{array}{rlrl}& \underset{l\le i<j\le r}{max}\{A_i-B_j\}& & (1)\\ & \underset{l\le j<k\le r}{max}\{A_k-B_j\}& & (2)\end{array}$$

然后你就又会发现，诶 $\text{TMD}$，这个也没法直接维护啊！！

于是设 $(1)$ 式为 $P(l,r)$，$(2)$ 式为 $Q(l,r)$。

然后考虑怎么维护。

于是又双叒叕可以参考 P4513 的思路，发现对于 $P(l,r)$ 和 $Q(l,r)$，我们继续考虑最优的答案会出现在哪里。

则显然，父区间的答案只会在左区间答案、右区间答案、区间交界处（？）答案取到。

这里的区间交界处是什么意思呢，即 $A_i$ 或 $A_k$ 与 $B_j$ 不在同一个子区间内。

所以对于父区间 $P(l,r)$ 和 $Q(l,r)$，就出现了如下维护方式：

$$\begin{array}{r}P(l,r)=max\{P(l,mid),P(mid+1,r),\underset{l\le i\le mid}{max}(A_i)-\underset{mid+1\le j\le r}{min}(B_j)\}\\ Q(l,r)=max\{Q(l,mid),Q(mid+1,r),\underset{mid+1\le k\le r}{max}(A_k)-\underset{l\le j\le mid}{min}(B_j)\}\end{array}$$

所以，对于 $\mathrm{\Psi }(l,r)$ 的维护，我们就出现如下式子：

$$\mathrm{\Psi }(l,r)=\underset{l\le i<j<k\le r}{max}\{\mathrm{\Psi }(l,mid),\mathrm{\Psi }(mid+1,r),P(l,mid)+\underset{mid+1\le k\le r}{max}(A_k),Q(mid+1,r)+\underset{l\le i\le mid}{max}(A_i)\}$$

最后就是套板子了。

P5278 算术天才⑨与等差数列

对这个题目，有两种思路：

Solution 1：

$trick$：线段树维护 $Hash$。

考虑 Hash，可以参考此题弱化版 P3792 由乃与大母神原型和偶像崇拜。

Hash 的值可以是区间和，区间平方和，区间立方和，反正 Hash 嘛。

PS：该做法可能会被卡掉，不过如果你可以选择多维护几个 Hash 值。

时间复杂度 $O(m\log n)$

Solution 2：

差分，将原问题转化为区间 $gcd$ 问题，则此时的 $gcd$ 的数值应该是公差 $k$。

至于不出现相同数字嘛，维护前驱，变成数点问题。

时间复杂度 $O(m{\log }^{2}n)$

然而可以去掉一只 $\log$，考虑一下，实际上只需要维护区间前驱最大值就行了。

时间复杂度 $O(m(\log n+\log v))$

P4344 [SHOI2015]脑洞治疗仪：

本题两种思路：

Solution 1：

$\text{trick}$：线段树上二分

实际上当把这个 $\text{trick}$ 写出来的时候，这个题就真的没有什么思维难度了。

无非就是区间推平 + 区间连续段最值问题而已。

如果我们不考虑在线段树上二分，则是直接二分开始推平的位置。

时间复杂度 $O(m{\log }^{2}n)$

但是如果你会线段树上二分的 $\text{trick}$，你就可以去掉一只 $\log$，时间复杂度优化成 $O(m\log n)$

虽然 ${\log }^{2}2\times {10}^5$ 也不算特别大，但是对 $1\text{s}$ 的时限来说还是有点紧张了。

Solution 2：

珂朵莉树

没了。

P2572 [SCOI2010] 序列操作：

$trick$：全套 01 序列操作。

对，这题没啥难度，但是就是纯纯恶心人。

注意一下取反的时候也别忘了把推平的 tag 给取反就行。

P6492 [COCI2010-2011#6] STEP：

小白逛公园的 $\text{Easy Version}$。

不过需要考虑合并可行性。

P2894 [USACO08FEB] Hotel G：

感觉很像 P4344，不过就是如果住不下就直接不住了，P4344 是住不下就舍掉一部分而已。

CF438D The Child and Sequence

$trick$：势能操作。

其他两个操作都很简单，重点来考虑取模操作。

首先考虑每次取模操作所带来的影响，会发现实际上每次取模之后，所有数要么缩小，要么不变。

考虑维护区间最大值，如果区间最大值大于等于待取模数我们就暴力往下修改，直到某个区间的最大值小于待取模数或者到达叶子节点时再停下。

乍一听好像时间复杂度十分不可取，实际上均摊一下复杂度是 $O(n\log n)$ 的。

CF240F TorCoder

$trick$：开一车线段树。

使用这个 $\text{trick}$ 的前提是开的线段树的个数要足够小，且应该是 $O(m\log n)$ 的复杂度给了 $2\sim 3\text{s}$ 时限，然后感觉直接维护好像不大好做的题目。

（或者说是直接用来骗分）

思考一下，对于构造回文串，我们只需要分两类讨论：

• 当需要构造的长度为偶数时，我们需要每一种颜色的数量都为偶数。

• 当需要构造的长度为奇数时，我们需要有一种颜色的数量为奇数，其余都为偶数。

然后就是开 $26$ 棵线段树，维护一下每个颜色的位置，转化为 01 序列问题。

注意空间。

CF431E Chemistry Experiment

$trick$：线段树优化二分答案

看到 $\text{trick}$ 名，你可能感觉很怪，实际上我也觉得很怪，但是实际上就是这样，用线段树来优化二分答案的 check 部分，使得 $O(mn\log n)$ 的复杂度降低到 $O(m{\log }^{2}n)$

本题维护一个值域线段树，动态开点，支持区间和和值域区间有效个数和。

考虑二分答案 $\overline{v}$，表示倒完水后有水部分最大的体积。

注意精度。

P1438 无聊的数列

$trick$：原序列转化。

emm……感觉这个 $\text{trick}$ 用途太广了，应该是个人人都会的技能吧。

考虑对原序列差分，因为是单点查询，所以差分后就变成区间查询了。

然后就是考虑等差数列修改，因为等差，所以相当于是区间加，然后再在 $r+1$ 处减掉 $D\times (r-l)+K$ 就行了。

哦对了，别忘了在 $l$ 处加上 $K$。

PS：是不是树状数组也能做啊/yiw

CF992E Nastya and King-Shamans

考虑将原序列转化为前缀和，则此时单点修改就变成了在前缀和序列上区间修改。

然后考虑用 rmq 线段树维护原序列与前缀和的差值，此时，每次单点修改就变成了区间减和单点加。

查询就向下递归区间最大值 $\ge 0$ 的节点。

为什么复杂度是正确的呢？

因为题目保证，任何时候 $a_i$ 都小于等于 ${10}^9$，因而我们可以发现，满足条件的点最多最多不会超过 $\log {10}^9$ 个，毕竟每一个符合条件的点都会导致前缀和倍增。

时间复杂度 $O(m\log n\log v)$。

可能需要减减常数，这个时限不是很健康。

CF1000F One Occurrence：

咕咕咕，我是鸽子

CF1149C Tree Generator™

$trick$：括号序列$\iff$树的欧拉序

在讲作法之前，我不得不承认，刚开始的时候，确实被这道题给耍了，这个傻子刚开始满脑子想的都是 $\text{LCT}$ 啊。

这题我认为是诈骗题的 master（也可能只有我这么傻，ε=(´ο｀*)))唉）

将所有左括号看做成 $1$，将所有有括号看成 $-1$，然后不就是最大字段和……吗？

如果你认为是最大子段和 $+1$ 的话，你又被诈骗了（叹气。

如果考虑最大子段和的话，你会发现，你给无根树定死了根节点，但是像如下样例的情况你就处理不了了:

输入：

((()))((()))

最大子段和 + 1：

3

答案：

7

所以再次观察括号序列，发现树的直径就是括号序列的最长去匹配区间。

然后我们可以发现如下 $\text{Lemma}$：

最长去匹配区间 = $\underset{1\le l<p<r\le n}{max}\{v_{p+1,r}-v_{1,p}\}$

然后原问题被转化成了如何求最大子段相邻区间差 $\mathrm{\Delta }$（以下简写为 $\mathrm{\Delta }$），即：

$$\mathrm{\Delta }=\underset{1\le l<p<r\le n}{max}\{v_{p+1,r}-v_{l,p}\}$$

考虑一下线段树怎么维护（大家好，我喜欢暴力数据结构……）这个看起来十分难以维护的东西。

这里我使用的是逆向分析法（具体思路可以参考一下 P7706）：

首先，考虑最终答案需要什么贡献，对于一个区间的 $\mathrm{\Delta }$，它要么是左半区间的 $\mathrm{\Delta }$，要么是右半区间的 $\mathrm{\Delta }$，要么是当前区间的最大相邻区间差 $\delta$，要么是右半区间的前缀 $\mathrm{\Delta }$ 减去左半区间的后缀最小值，要么是左半区间的后缀 $\mathrm{\Delta }$ 加上右半区间的前缀最大值。

然后你就发现，这个最终答案的维护十分抽象，好像需要 $9$ 个值，分别是前缀子段和的 min 和 max，后缀子段和的 min 和 max，前缀的 $\mathrm{\Delta }$，后缀的 $\mathrm{\Delta }$，区间的 $\delta$ 和 $\mathrm{\Delta }$，区间的 sum。

因为剩下的维护太 naive 了，所以懒得写了。

交换操作就是单点取反，$1\to -1,-1\to 1$

小结

感觉这份博客的水题好像有点多了，抽时间再写个 $2$。