数论笔记（Full Version）
数论笔记（Full Version）
一、数论基础：
1、整除：
-
重新定义除法：
对于计算式：\(a\div b\) 来说，其结果可以变化为以下的式子：$$a = b\lfloor \frac{a}{b} \rfloor + a \bmod b$$其中，\(\lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor\) 为商，\(a \bmod b\) 为余数。 -
定义：对于任意计算式 \(a\div b\) 来说，若其余数为 \(0\)，则我们称作 \(b\) 能整除 \(a\)，记做 \(b\mid a\)。
2、质数（素数）：
- 定义：指除了 \(1\) 和其本身以外不能再被其他数所整除的数，我们称其为质数。
- 几个经典的质数：\(2,3,998244353,10^9+7\)。
3、模运算：
- 性质：
- 加法：\((a+b)\bmod c = (a\bmod c+b\bmod c)\bmod c\)。
- 减法：\((a-b)\bmod c=(a\bmod c - b\bmod c + c)\bmod c\)。
- 乘法：\((a\times b)\bmod c = a\bmod c \times (b\bmod c) \bmod c\)。
4、\(\gcd(a,b)\) 和 \(\operatorname{lcm}(a,b)\)：
- \(\gcd(a,b)\)：
- 作用：求得 \(a\)，\(b\) 的最大公因数。
- 性质：
- \(\gcd(a,b) = \gcd(b,a)\)。
- \(\gcd(a,b) = \gcd(-a,b)\)。
- \(\gcd(a,b) = \gcd(|a|,|b|)\)。
- 若有 \(d\mid a\) 且 \(d \mid b\)，则有 \(d\mid \gcd(a,b)\)。
- \(\gcd(a,0) = a\)。
- \(\gcd(a,ka) = a\)。
- \(\gcd(an,bn) = n \gcd(a,b)\)。
- \(\gcd(a,b) = \gcd(a,ka+b)\)。
- 实现：辗转相除法（欧几里得算法）：
int gcd(int a,int b){
return b?gcd(b,a%b):a;
}
- \(\operatorname{lcm}(a,b)\)：
- 作用：求得 \(a\)，\(b\) 的最小公倍数。
- 性质：
- \(\gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b) = a\times b\)。
- 若有 \(a\mid m\) 且 \(b\mid m\) 那么 \(\operatorname{lcm}(a,b) \mid m\)。
- 若 \(m,a,b\) 是正整数，那么\(\operatorname{lcm}(ma,mb) = m \times \operatorname{lcm}(a,b)\)。
- 实现：
long long lcm(const int a[], int n){
long long ans = 1;
for(int i = 1;i<=n;i++)
ans = ans * a[i] / gcd(ans,a[i]);
return ans;
}
5、同余：
-
定义：对于两个数 \(a\)、\(b\)，如果 \(a \bmod m = b \bmod m\)，那么我们就称 \(a\) 和 \(b\) 在模 \(m\) 的意义下同余，记做：\(a \equiv b \pmod m\)。
-
性质：
- 若 \(m \mid (a-b)\)，则我们可以称 \(a\) 和 \(b\) 在模 \(m\) 的意义下同余。
- 若 \(a = mq + b\)，则我们可以称 \(a\) 和 \(b\) 在模 \(m\) 的意义下同余。
- 若 \(a \equiv 0 \pmod m\)，则称 \(m\mid a\)。
- 反身性：\(a\equiv a\pmod m\)。
- 对称性：若 \(a\equiv b \pmod m\)，那么 \(b\equiv a \pmod m\)。
- 传递性：若 \(a\equiv b \pmod m\)，\(b\equiv c \pmod m\)，那么 \(a\equiv c \pmod m\)。
- 同余式相加：若 \(a\equiv b \pmod m\)，\(c \equiv d \pmod m\)，那么 \(a\pm c\equiv b\pm d \pmod m\)。
- 同余式相乘：若 \(a\equiv b\pmod m\)，\(c \equiv d\pmod m\)，那么 \(ac\equiv bd \pmod m\)。
- 同余幂运算：若 \(a\equiv b\pmod m\)，那么 \(a^n\equiv b^n \pmod m\)。
- 若有整数 \(a,b\)，正整数 \(k,m\)，且有关系 \(a \equiv b \pmod m\)，则有 \(ak \equiv bk \pmod {mk}\)。
- 若有整数 \(a,b\)，正整数 \(d,m\)，且存在 \(d \mid a,\, d\mid b,\, d\mid m\)，并有关系 \(a\equiv b \pmod m\)，则有 \(\dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d} \pmod {\dfrac{m}{d}}\)。
- 若有整数 \(a,b\)，正整数 \(d,m\)，且存在 \(d\mid m\)，并有关系 \(a\equiv b\pmod m\)，则有 \(a\equiv b \pmod d\)。
- 若有整数 \(a,b\)，正整数 \(d,m\)，且存在 \(d = \gcd(b,m)\)，则有 \(d = \gcd(a,m)\)，换句话说，若存在 \(d\mid m,\, d\mid b\)，则一定有 \(d\mid a\)。
6、同余类和剩余系：
- 剩余系：
- 定义：是指模正整数 \(n\) 的余数所组成的集合。
- 完全剩余系：一个包含了正整数 \(n\) 所有可能的余数的剩余系叫做完全剩余系，记做 \(Z_n\)。
- 简化剩余系：包含了完全剩余系中所有与 \(n\) 互质的数的剩余系，记做 \(Z^*_n\)。
- 在完全剩余系之下，所有的运算全部在模 \(n\) 意义下进行的。
- 定义：是指模正整数 \(n\) 的余数所组成的集合。
- 同余类：将满足同余关系的所有整数看作成一个同余等价类。
这里是穿越过来的 Larry76，事实上，在学习群论以后，剩余系的本质其实就是一种「环」，而同余类可以看做是环上的同一位置的不同表示的表示方法的集合。
7、互质：
- 定义：\(\forall a,b \in N\)，若 \(\gcd(a,b) = 1\)，那么就说 \(a\) 和 \(b\) 互质，记做 \(a \perp b\)。
- 性质：
- 两个不同的质数一定是互质的。
- 一个质数和另一个不为它倍数的数是互质的。
- \(1\) 与任意一个数（除了 \(1\) 本身）都是互质的。
- 相邻的两个自然数是互质的。
- 相邻的两个奇数是互质的。
- 较大数为质数的两个数是互质的。
- 斐波那契数列上两个相邻的数是互质的。
7、数论函数：
- 积性函数和完全积性函数：
- 积性函数：
- 定义：设有函数 \(f(x)\) 和变量 \(a,b\)。
\(\forall a\perp b\)，我们有 \(f(ab) = f(a) \cdot f(b)\)
则函数 \(f(x)\) 为积性函数。
- 定义：设有函数 \(f(x)\) 和变量 \(a,b\)。
- 完全积性函数：
- 定义：设有函数 \(f(x)\) 和变量 \(a,b\)。
\(\forall a,b\)，我们有 \(f(ab) = f(a) \cdot f(b)\)。
则函数 \(f(x)\) 为完全积性函数。
- 定义：设有函数 \(f(x)\) 和变量 \(a,b\)。
- 积性函数：
- 常见数论函数：
- 完全积性函数：
- 单位元：\(\operatorname{e}(n) = [n=1]\)。
- 常函数：\(\operatorname{I}(n) = 1\)。
- 单位函数：\(\operatorname{id}(n) = n\qquad(n\ge 1)\)。
- 积性函数：
- 莫比乌斯函数：
\[\mu(n) = \begin{cases}1 && n = 1 \\(-1)^k && \text{n没有平方因子}\\0 && \text{n有平方因子}\end{cases} \]- 欧拉函数：
\[\varphi(n) = n\times \prod_{p|n}\frac{p-1}{p} \]- 约数幂和函数：
\[\sigma_k(n) = \sum_{d|n}d^k \]其中，当 \(k=0\) 时，可以简写为 \(\sigma(n)\)
- 完全积性函数：
