【动态规划】正则表达式

合集 - 动态规划(15)

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收起

目录

• 1. 题目
• 2. 应用
  • 2.1. Leetcode 10. 正则表达式匹配
    • 题目
    • 解题思路
    • 代码实现

1. 题目

题目列表：

序号	题目	难度
1	10. 正则表达式匹配	困难

2. 应用

2.1. Leetcode 10. 正则表达式匹配

题目

10. 正则表达式匹配

解题思路

设 $dp[i][j]$ 表示 $s$ 的前 $i$ 个字符与 $p$ 的前 $j$ 个字符是否匹配，即子串 $s[0\cdots i-1]$ 与子串 $p[0\cdots j-1]$ 是否匹配。

显然，当两个字符串的长度都是零时，它们可以匹配成功，因此，边界条件：

$$dp[0][0]=true$$

通过分析，容易看出来：

• 如果模式串 $p$ 的某一个位置是一个普通字符（字母或者点号）时，它只能匹配字符串 $s$ 中的一个字符;

• 如果模式串 $p$ 的某一个位置是一个星号字符时，它可以多次匹配 $s$ 中的多个相同的字符。

因此，对于 $s[0\cdots i-1]$ 和 $p[0\cdots j-1]$ 的最后一个字符，有三种情况：

• 当 $p[j-1]$ 是字母时：

  • 如果当前两个字符相等，即 $s[i-1]=p[j-1]$，那么，当前状态可以通过前一个状态转移得到，即

    $$dp[i][j]=dp[i-1][j-1],s[i-1]=p[j-1]$$

  • 如果当前两个字符不相等，即 $s[i-1]\ne p[j-1]$，那么，两个字符串就不匹配，即

    $$dp[i][j]=false,s[i-1]\ne p[j-1]$$

  因此，当 $p[j-1]$ 是字母时，其状态转移方程为：

  $$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j-1],& s[i-1]=p[j-1]\\ false,& s[i-1]\ne p[j-1]\end{array}$$

• 当 $p[j-1]$ 是 * 时，那么，它可以对字符串 $s$ 匹配任意次：

  • 如果星号匹配零次，即星号没有匹配到字符串 $s$ 中的字符，那么，它可以通过前一个状态转移得到

    $$dp[i][j]=dp[i][j-2],s[i-1]\ne p[j-2]$$

  • 如果星号匹配多次，那么，此时有两种情况：

    • 当前匹配成功了，即消耗了一个字符串 $s$ 中的字符 $s[i-1]$，当前状态与状态 $dp[i-1][j]$ 相同；

    • 当前匹配结束了，此时，需要去掉模式串 $p$ 中的 字母 + 星号 组合，当前状态与状态 $dp[i][j-2]$ 相同。

    上述两种情况，只要有一种情况匹配成功即可。

    $$dp[i][j]=dp[i-1][j]\vee dp[i][j-2],s[i-1]=p[j-2]$$

  因此，当 $p[j-1]$ 是字母时，其状态转移方程为：

  $$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j]\vee dp[i][j-2],& s[i-1]=p[j-2]\\ dp[i][j-2],& s[i-1]\ne p[j-2]\end{array}$$

• 当 $p[j-1]$ 是 . 时，那么，它可以成功匹配字符串 $s$ 中的任意字符；

  $$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]$$

综上，状态转移方程为：

$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j-1],& p[j-1]\ne \ast ,match(s[i-1],p[j-1])=true\\ false,& p[j-1]\ne \ast ,match(s[i-1],p[j-1])=false\\ dp[i-1][j]\vee dp[i][j-2],& p[j-1]=\ast ,match(s[i-1],p[j-2])=true\\ dp[i][j-2],& p[j-1]=\ast ,match(s[i-1],p[j-2])=false\end{array}$$

其中，$match(x,y)$ 表示字符 $x$ 和字符 $y$ 是否匹配，当且仅当字符 $x$ 和字符 $y$ 相等或者字符 $y$ 为 . 时，返回 true。

注意：这里 $\vee$ 表示逻辑或， $\wedge$ 表示逻辑与。

注意：长度为零的模式串不能匹配任何字符串。

代码实现

class Solution {
    public boolean isMatch(String s, String p) {
        int m = s.length(), n = p.length();
        boolean[][] dp = new boolean[m + 1][n + 1];
        dp[0][0] = true;
 
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (p.charAt(j - 1) == '*') {
                    dp[i][j] |= dp[i][j - 2];
                    if (match(s, i, p, j - 1)) {
                        dp[i][j] |= dp[i - 1][j];
                    }
                } else {
                    if (match(s, i, p, j)) {
                        dp[i][j] |= dp[i - 1][j - 1];
                    }
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
 
    private boolean match(String s, int i, String pattern, int j) {
        // 判断s[i - 1]与p[j - 1]是否匹配
        if (i == 0) {
            return false;
        }
        if (pattern.charAt(j - 1) == '.') {
            return true;
        }
        return s.charAt(i - 1) == pattern.charAt(j - 1);
    }
}