【动态规划】子串、子序列问题
应用
应用1：Leetcode 647. 回文子串
题目
解题思路
动态规划
设 \(dp[i][j]\) 表示子串 \(s[i \cdots j]\) 是否是回文子串，若 \(dp[i][j] = True\)，则表示子串 \(s[i \cdots j]\) 是回文子串，否则，它就不是回文子串。假设字符串 \(s\) 的长度为 \(n\)。
边界条件
当子串 \(s[i \cdots j]\) 长度为 \(0\) 时，即空字符串是一个回文子串，因此边界条件如下：
\[dp[i][i] = true, \ 0 \le i \le n - 1 , j = i
\]
状态转移
对于字符串 \(s\)，我们倒序遍历子串 \(s[i \cdots j]\) 的起始位置 \(i\)，同时使用指针 \(j\)，从位置 \(i + 1\) 开始顺序枚举子串的结束位置。
对于，任意一个子串 \(s[i \cdots j]\) ，存在两种情况，使得它是一个回文串：
-
子串长度为 \(1\)，即 \(i = j\)；
-
子串长度大于 \(1\)，若 \(s[i] = s[j]\)，且它的子串 \(s[i + 1 \cdots j - 1]\) 是一个回文串。
这里需要注意，当子串长度为 \(2\) ，即\(j = i + 1\) 时，它的子串 \(s[i + 1 \cdots j - 1]\) 是一个空串
""。
否则，它就不是一个回文串。
因此，状态转移方程为：
\[dp[i][j] =
\begin{cases}
(s[i] == s[j]) \land (j - i <= 1 \lor dp[i + 1][j - 1]) , & i \lt j\\
false, & otherwise
\end{cases}
\]
这里，\(\land\) 表示逻辑与运算，\(\lor\) 表示逻辑或运算。
代码
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int n = s.length();
int result = 0;
boolean [][] dp = new boolean[n][n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][i] = true;
result++;
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 1; j < n; j++ ) {
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
if (j - i <= 1) {
dp[i][j] = true;
} else {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
}
} else {
dp[i][j] = false;
}
if (dp[i][j]) {
result++;
}
}
}
return result;
}
}
简化之后的代码如下：
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int n = s.length();
int result = 0;
boolean [][] dp = new boolean[n][n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][i] = true;
result++;
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 1; j < n; j++ ) {
if (s.charAt(i) == s.charAt(j) && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
dp[i][j] = true;
result++;
}
}
}
return result;
}
}
