前缀和的应用 II

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应用

应用1：396. 旋转函数

题目

396. 旋转函数

给定一个长度为 n 的整数数组 nums 。
假设 arrk 是数组 nums 顺时针旋转 k 个位置后的数组，我们定义 nums 的 旋转函数  F 为：
F(k) = 0 * arrk[0] + 1 * arrk[1] + ... + (n - 1) * arrk[n - 1]
返回 F(0), F(1), ..., F(n-1)中的最大值 。

示例 1:

输入: nums = [4,3,2,6]
输出: 26
解释:
F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25
F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16
F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23
F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26
所以 F(0), F(1), F(2), F(3) 中的最大值是 F(3) = 26 。

分析

假设数组 $nums$ 的长度为 $n$，根据旋转函数 $F$ 的定义，可以得

$$\begin{array}{rl}F(0)& =0\times nums[0]+1\times nums[1]+\cdots +(n-1)\times nums[n-1]\\ F(1)& =0\times nums[n-1]+1\times nums[0]+\cdots +(n-1)\times nums[n-2]\end{array}$$

上述两式相减，可得：

$$\begin{array}{rl}F(1)-F(0)& =nums[0]+nums[1]+\cdots +nums[n-2]-(n-1)\times nums[n-1]\\ & =nums[0]+nums[1]+\cdots +nums[n-2]+nums[n-1]-n\times nums[n-1]\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}nums[i]-n\times nums[n-1]\end{array}$$

同理，可得：

$$F(2)-F(1)=\sum _{i=0}^{n-1}nums[i]-n\times nums[n-2]$$

通过观察，可以推广到一般情况：

$$F(x)-F(x-1)=\sum _{i=0}^{n-1}nums[i]-n\times nums[n-x]$$

其中，$\sum _{i=0}^{n-1}nums[i]$ 是数组 $nums$ 的所有元素之和 $Sum$，可以很容易求出，因此，可以看出旋转函数 $F(x)$ 当前值，可以通过前一项转移得到：

$$F(x)=F(x-1)+\sum _{i=0}^{n-1}nums[i]-n\times nums[n-x]$$

因此，我们只需要先求出首项 $F(0)$，即可根据上述递推公式，得到所有的 $F(1),F(2),...,F(n-1)$，然后，再找到最大的一个 $F_{max}(x)$ 即可。

代码实现

class Solution:
    def maxRotateFunction(self, nums: List[int]) -> int:
        f, n, _sum = 0, len(nums), sum(nums)
        for i, num in enumerate(nums):
            f += i * num
 
        result = f
        for i in range(n - 1, 0, -1):
            f = f + _sum - n * nums[i]
            result = max(result, f)
        return result

参考：

• 【daydayUppp🎈】数学小推导 , O(1) 实现转移