排列与组合的原理

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简介

排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列

乘法原理

如果完成一个工程需要分 \(n\) 个步骤，假设 \(a_i\) 代表第 \(i\) 个步骤的不同方法数目，其中，\(1 \le i \le n\)，那么，完成这件事共有 \(S = a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n\) 种不同的方法。

排列数

假设 \(m\leq n\)，且 \(m\) 与 \(n\) 均为自然数，从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m\) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个排列。

从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的所有排列的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的排列数，用符号 \(\mathrm A_n^m\) 或者 \(\mathrm P_n^m\) 表示。

排列的计算公式如下：

\[\mathrm A_n^m = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) = \frac{n!}{(n - m)!} \]

其中，\(n!\) 代表 \(n\) 的阶乘，即 \(6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6\)。

公式可以这样理解：

从 \(n\) 个人中选 \(m\) 个来排队，第一个位置可以选 \(n\) 个，第二位置可以选 \(n-1\) 个，以此类推，第 \(m\) 个（最后一个）可以选 \(n-m+1\) 个，得：

\[\mathrm A_n^m = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) = \frac{n!}{(n - m)!} \]

全排列

\(n\) 个人全部来排队，队伍长度为 \(n\)，第一个位置可以选 \(n\) 个，第二位置可以选 \(n-1\) 个，以此类推得：

\[\mathrm A_n^n = n(n-1)(n-2) \cdots 3 \times 2 \times 1 = n! \]

全排列是排列数的一个特殊情况。

组合

加法原理

如果完成一个工程可以有 \(n\) 类办法，假设 \(a_i\) 代表第 \(i\) 类方法的数目，其中，\(1 \le i \le n\)，那么，完成这件事共有 \(S=a_1+a_2+\cdots +a_n\) 种不同的方法。

组合数

假设 \(m\leq n\)，且 \(m\) 与 \(n\) 均为自然数，从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m\) 个元素组成一个集合，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个组合。

从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的所有组合的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的组合数。用符号 \(\mathrm C_n^m\) 来表示。

组合数计算公式

\[\mathrm C_n^m = \frac{\mathrm A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n - m)!} \]

公式可以这样理解：

假设从 \(n\) 个人中选择 \(m\) 个人出来排队，那么，计算排列数 \(\mathrm A_n^m\)，就可以分两步完成：

  • 首先，从 \(n\) 个人中选择 \(m\) 个人出来，选择的方法有 \(\mathrm C_n^m\) 种；

  • 对 \(m\) 个人进行全排列，排列的方法有 \(\mathrm A_m^m\) 种；

因此，根据乘法原理，可得

\[\begin{aligned} \mathrm A_n^m &= \mathrm C_n^m \times \mathrm A_m^m \end{aligned} \]

将上述等式变形，可以得到：

\[\begin{aligned} \mathrm C_n^m = \frac{\mathrm A_n^m}{\mathrm A_m^m} = \frac{\mathrm A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \end{aligned} \]

组合数也常用 \(\dbinom{n}{m}\) 表示，读作：\(n\) 选 \(m\)，即

\[\displaystyle \mathrm C_n^m=\binom{n}{m} \]

实际上，后者表意清晰明了，美观简洁，因此现在数学界普遍采用 \(\dbinom{n}{m}\) 的记号而非 \(\mathrm C_n^m\)。

组合数也被称为二项式系数，下文二项式定理将会阐述其中的联系。

特别地，规定当 \(m>n\) 时，\(\mathrm A_n^m=\mathrm C_n^m=0\)。

参考：

posted @ 2023-04-28 18:10  LARRY1024  阅读(75)  评论(0)  编辑  收藏  举报