排列与组合的原理

目录

• 简介
  • 排列
    • 乘法原理
    • 排列数
      • 全排列
  • 组合
    • 加法原理
    • 组合数

简介

排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列

乘法原理

如果完成一个工程需要分 $n$ 个步骤，假设 $a_i$ 代表第 $i$ 个步骤的不同方法数目，其中，$1\le i\le n$，那么，完成这件事共有 $S=a_1\times a_2\times \cdots \times a_n$ 种不同的方法。

排列数

假设 $m\le n$，且 $m$ 与 $n$ 均为自然数，从 $n$ 个不同元素中，任取 $m$ 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有排列的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数，用符号 ${\mathrm{A}}_n^m$ 或者 ${\mathrm{P}}_n^m$ 表示。

排列的计算公式如下：

$${\mathrm{A}}_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$

其中，$n!$ 代表 $n$ 的阶乘，即 $6!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6$。

公式可以这样理解：

从 $n$ 个人中选 $m$ 个来排队，第一个位置可以选 $n$ 个，第二位置可以选 $n-1$ 个，以此类推，第 $m$ 个（最后一个）可以选 $n-m+1$ 个，得：

$${\mathrm{A}}_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$

全排列

$n$ 个人全部来排队，队伍长度为 $n$，第一个位置可以选 $n$ 个，第二位置可以选 $n-1$ 个，以此类推得：

$${\mathrm{A}}_n^n=n(n-1)(n-2)\cdots 3\times 2\times 1=n!$$

全排列是排列数的一个特殊情况。

组合

加法原理

如果完成一个工程可以有 $n$ 类办法，假设 $a_i$ 代表第 $i$ 类方法的数目，其中，$1\le i\le n$，那么，完成这件事共有 $S=a_1+a_2+\cdots +a_n$ 种不同的方法。

组合数

假设 $m\le n$，且 $m$ 与 $n$ 均为自然数，从 $n$ 个不同元素中，任取 $m$ 个元素组成一个集合，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合。

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数。用符号 ${\mathrm{C}}_n^m$ 来表示。

组合数计算公式

$${\mathrm{C}}_n^m=\frac{{\mathrm{A}}_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

公式可以这样理解：

假设从 $n$ 个人中选择 $m$ 个人出来排队，那么，计算排列数 ${\mathrm{A}}_n^m$，就可以分两步完成：

• 首先，从 $n$ 个人中选择 $m$ 个人出来，选择的方法有 ${\mathrm{C}}_n^m$ 种；

• 对 $m$ 个人进行全排列，排列的方法有 ${\mathrm{A}}_m^m$ 种；

因此，根据乘法原理，可得

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{A}}_n^m& ={\mathrm{C}}_n^m\times {\mathrm{A}}_m^m\end{array}$$

将上述等式变形，可以得到：

$$\begin{array}{r}{\mathrm{C}}_n^m=\frac{{\mathrm{A}}_n^m}{{\mathrm{A}}_m^m}=\frac{{\mathrm{A}}_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\end{array}$$

组合数也常用 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}$ 表示，读作：$n$ 选 $m$，即

$${\displaystyle {\mathrm{C}}_n^m=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}$$

实际上，后者表意清晰明了，美观简洁，因此现在数学界普遍采用 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}$ 的记号而非 ${\mathrm{C}}_n^m$。

组合数也被称为二项式系数，下文二项式定理将会阐述其中的联系。

特别地，规定当 $m>n$ 时，${\mathrm{A}}_n^m={\mathrm{C}}_n^m=0$。

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参考：

• 排列组合
• 排列组合的一些公式及推导