自动机

目录

• 自动机
  • 自动机简介
  • 常见的自动机
• 应用
  • 应用1：Leetcode.8
    • 题目
    • 分析
    • 代码实现

自动机

自动机简介

自动机理论是一种将离散数学系统的构造，自动机是有穷自动机(finite state automata，FSM)的数学模型。

有穷自动机是一个识别器，它对每个输入的字符做识别和判断，以确定其能到达的最终状态或状态集和路径。

有穷自动机可以分为：

• 确定有限状态自动机(deterministic finite automaton，DFA)

  对于一个给定的属于该自动机的状态和一个属于该自动机字母表 $\mathrm{\Sigma }$ 的字符，它都能根据事先给定的转移函数转移到下一个状态。

• 非确定有限自动机（Non-Deeterministic Finite State Automata，NFA）

  对于任何输入符号，它的下一个状态不是唯一确定的，可以是多个可能状态中的任何一个。

一个 确定有限状态自动机（DFA） 由以下五部分构成：

• 字符集（$\mathrm{\Sigma }$）：该自动机只能输入这些字符。

• 状态集合（$Q$）：如果把一个 DFA 看成一张有向图，那么 DFA 中的状态就相当于图上的顶点。

• 起始状态（$start$）：$start\in Q$，是一个特殊的状态。起始状态一般用 $s$ 表示，为了避免混淆，这里使用 $start$。

• 接受状态集合（$F$）：$F\subseteq Q$，是一组特殊的状态。

• 转移函数（$\delta$）：$\delta$ 是一个接受两个参数返回一个值的函数，其中第一个参数和返回值都是一个状态，第二个参数是字符集中的一个字符。

  如果把一个 DFA 看成一张有向图，那么 DFA 中的转移函数就相当于顶点间的边，而每条边上都有一个字符。

DFA 的作用就是识别字符串，一个自动机 $A$，若它能识别（接受）字符串 $S$，那么，$A(S)=\mathrm{True}$，否则 $A(S)=\mathrm{False}$。

当一个 DFA 读入一个字符串时，从初始状态起按照转移函数一个一个字符地转移。如果读入完一个字符串的所有字符后位于一个接受状态，那么我们称这个 DFA 接受 这个字符串，反之我们称这个 DFA 不接受 这个字符串。

如果一个状态 $v$ 没有字符 $c$ 的转移，那么，我们令 $\delta (v,c)=\mathrm{null}$，而 $\mathrm{null}$ 只能转移到 $\mathrm{null}$，且 $\mathrm{null}$ 不属于接受状态集合。无法转移到任何一个接受状态的状态都可以视作 $\mathrm{null}$，或者说，$\mathrm{null}$ 代指所有无法转移到任何一个接受状态的状态。

我们扩展定义转移函数 $\delta$，令其第二个参数可以接收一个字符串：$\delta (v,s)=\delta (\delta (v,s[1]),s[2..|s|])$，扩展后的转移函数就可以表示，从一个状态起接收一个字符串后转移到的状态。那么，$A(s)=[\delta (start,s)\in F]$。

如，一个接受且仅接受字符串 "a", "ab", "aac" 的 DFA：

常见的自动机

常见的自动机如下：

• 字典树

  转移函数就是 Trie 上的边，接受状态是将每个字符串插入到 Trie 时到达的那个状态。

• KMP 自动机

  KMP 算法 可以视作自动机，基于字符串 s 的 KMP 自动机接受且仅接受以 s 为后缀的字符串，其接受状态为 |s|。

  转移函数：

$$\delta (i,c)=\{\begin{array}{ll}i+1& s[i+1]=c\\ 0& s[1]\ne c\wedge i=0\\ \delta (\pi (i),c)& s[i+1]\ne c\wedge i>0\end{array}$$

• AC 自动机

  AC 自动机 接受且仅接受以指定的字符串集合中的某个元素为后缀的字符串。也就是 Trie + KMP。

• 后缀自动机

  后缀自动机 接受且仅接受指定字符串的后缀。

• 广义后缀自动机

  广义后缀自动机 接受且仅接受指定的字符串集合中的某个元素的后缀。也就是 Trie + SAM。

  广义 SAM 与 SAM 的关系就是 AC 自动机与 KMP 自动机的关系。

• 回文自动机

  回文自动机 比较特殊，它不能非常方便地定义为自动机。

  如果需要定义的话，它接受且仅接受某个字符串的所有回文子串的 中心及右半部分。

「中心及右边部分」在奇回文串中就是字面意思，在偶回文串中定义为一个特殊字符加上右边部分。这个定义看起来很奇怪，但它能让 PAM 真正成为一个自动机，而不仅是两棵树。

• 序列自动机

  序列自动机 接受且仅接受指定字符串的子序列。

• 后缀链接

  由于自动机和匹配有着密不可分的关系，而匹配的一个基本思想是「这个串不行，就试试它的后缀可不可以」，所以在很多自动机（KMP、AC 自动机、SAM、PAM）中，都有后缀链接的概念。

  一个状态会对应若干字符串，而这个状态的后缀链接，是在自动机上的、是这些字符串的公共真后缀的字符串中，最长的那一个。

  一般来讲，后缀链接会形成一棵树，并且不同自动机的后缀链接树有着一些相同的性质，学习时可以加以注意。

应用

应用1：Leetcode.8

题目

8. 字符串转换整数 (atoi)

分析

利用确定有限状态自动机（DFA），我们可以将题目中的字符分类如下几类：

• 空格：' '；

• 正负号：$+$、$-$；

• 数字：$0\to 9$；

• 其他字符；

对于上述字符分类，我们可以归纳出四个状态集合：开始（start）、结束（end）、正负号（signed）、数字（in_number）。

其状态转移过程，如下图所示：

将状态转移过程用表格的形式总结为：

状态	空格	正负号	数字	其他字符
start	start	signed	in_number	end
signed	end	end	in_number	end
in_number	end	end	in_number	end
end	end	end	end	end

我们可以创建一个有限状态机来处理字符串，对于字符串中的每一个字符 char，可以根据当前字符转移到下一个状态。

代码实现

INT_MAX = 2 ** 31 - 1
INT_MIN = -2 ** 31
 
class Automaton:
    def __init__(self):
        self.state = 'start'
        self.sign = 1
        self.ans = 0
        self.table = {
            'start': ['start', 'signed', 'in_number', 'end'],
            'signed': ['end', 'end', 'in_number', 'end'],
            'in_number': ['end', 'end', 'in_number', 'end'],
            'end': ['end', 'end', 'end', 'end'],
        }
 
    def get_col(self, c):
        if c.isspace():
            return 0
        if c == '+' or c == '-':
            return 1
        if c.isdigit():
            return 2
        return 3
 
    def get(self, c):
        # 根据当前字符和当前状态，计算出下一个状态
        self.state = self.table[self.state][self.get_col(c)]
        # 只需要处理数字状态和符号状态就行了
        if self.state == 'in_number':
            self.ans = self.ans * 10 + int(c)
            self.ans = min(self.ans, INT_MAX) if self.sign == 1 else min(self.ans, -INT_MIN)
        elif self.state == 'signed':
            self.sign = 1 if c == '+' else -1
 
class Solution:
    def myAtoi(self, str: str) -> int:
        automaton = Automaton()
        for c in str:
            automaton.get(c)
        return automaton.sign * automaton.ans
 

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参考：

• 自动机

• 确定有限状态自动机

• 非确定有限状态自动机