自动机
自动机
自动机简介
自动机理论是一种将离散数学系统的构造，自动机是有穷自动机(finite state automata，FSM)的数学模型。
有穷自动机是一个识别器，它对每个输入的字符做识别和判断，以确定其能到达的最终状态或状态集和路径。
有穷自动机可以分为：
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确定有限状态自动机(deterministic finite automaton，DFA)
对于一个给定的属于该自动机的状态和一个属于该自动机字母表 \(\Sigma\) 的字符，它都能根据事先给定的转移函数转移到下一个状态。
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非确定有限自动机（Non-Deeterministic Finite State Automata，NFA）
对于任何输入符号，它的下一个状态不是唯一确定的，可以是多个可能状态中的任何一个。
一个 确定有限状态自动机（DFA） 由以下五部分构成：
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字符集（\(\Sigma\)）：该自动机只能输入这些字符。
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状态集合（\(Q\)）：如果把一个 DFA 看成一张有向图，那么 DFA 中的状态就相当于图上的顶点。
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起始状态（\(start\)）：\(start\in Q\)，是一个特殊的状态。起始状态一般用 \(s\) 表示，为了避免混淆，这里使用 \(start\)。
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接受状态集合（\(F\)）：\(F\subseteq Q\)，是一组特殊的状态。
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转移函数（\(\delta\)）：\(\delta\) 是一个接受两个参数返回一个值的函数，其中第一个参数和返回值都是一个状态，第二个参数是字符集中的一个字符。
如果把一个 DFA 看成一张有向图，那么 DFA 中的转移函数就相当于顶点间的边，而每条边上都有一个字符。
DFA 的作用就是识别字符串，一个自动机 \(A\)，若它能识别（接受）字符串 \(S\)，那么，\(A(S)=\mathrm{True}\)，否则 \(A(S)=\mathrm{False}\)。
当一个 DFA 读入一个字符串时，从初始状态起按照转移函数一个一个字符地转移。如果读入完一个字符串的所有字符后位于一个接受状态，那么我们称这个 DFA 接受 这个字符串，反之我们称这个 DFA 不接受 这个字符串。
如果一个状态 \(v\) 没有字符 \(c\) 的转移，那么，我们令 \(\delta(v,c)=\mathrm{null}\)，而 \(\mathrm{null}\) 只能转移到 \(\mathrm{null}\)，且 \(\mathrm{null}\) 不属于接受状态集合。无法转移到任何一个接受状态的状态都可以视作 \(\mathrm{null}\)，或者说，\(\mathrm{null}\) 代指所有无法转移到任何一个接受状态的状态。
我们扩展定义转移函数 \(\delta\)，令其第二个参数可以接收一个字符串：\(\delta(v,s)=\delta(\delta(v,s[1]),s[2..|s|])\)，扩展后的转移函数就可以表示，从一个状态起接收一个字符串后转移到的状态。那么，\(A(s)=[\delta(start,s)\in F]\)。
如，一个接受且仅接受字符串 "a", "ab", "aac" 的 DFA：
常见的自动机
常见的自动机如下：
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字典树
转移函数就是 Trie 上的边，接受状态是将每个字符串插入到 Trie 时到达的那个状态。
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KMP 自动机
KMP 算法 可以视作自动机，基于字符串 s 的 KMP 自动机接受且仅接受以 s 为后缀的字符串，其接受状态为 |s|。
转移函数：
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AC 自动机
AC 自动机 接受且仅接受以指定的字符串集合中的某个元素为后缀的字符串。也就是 Trie + KMP。
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后缀自动机
后缀自动机 接受且仅接受指定字符串的后缀。
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广义后缀自动机
广义后缀自动机 接受且仅接受指定的字符串集合中的某个元素的后缀。也就是 Trie + SAM。
广义 SAM 与 SAM 的关系就是 AC 自动机与 KMP 自动机的关系。
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回文自动机
回文自动机 比较特殊，它不能非常方便地定义为自动机。
如果需要定义的话，它接受且仅接受某个字符串的所有回文子串的 中心及右半部分。
「中心及右边部分」在奇回文串中就是字面意思，在偶回文串中定义为一个特殊字符加上右边部分。这个定义看起来很奇怪，但它能让 PAM 真正成为一个自动机，而不仅是两棵树。
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序列自动机
序列自动机 接受且仅接受指定字符串的子序列。
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后缀链接
由于自动机和匹配有着密不可分的关系，而匹配的一个基本思想是「这个串不行，就试试它的后缀可不可以」，所以在很多自动机（KMP、AC 自动机、SAM、PAM）中，都有后缀链接的概念。
一个状态会对应若干字符串，而这个状态的后缀链接，是在自动机上的、是这些字符串的公共真后缀的字符串中，最长的那一个。
一般来讲，后缀链接会形成一棵树，并且不同自动机的后缀链接树有着一些相同的性质，学习时可以加以注意。
应用
应用1：Leetcode.8
题目
分析
利用确定有限状态自动机（DFA），我们可以将题目中的字符分类如下几类：
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空格：
' '； -
正负号：\(+\)、\(-\)；
-
数字：\(0 \to 9\)；
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其他字符；
对于上述字符分类，我们可以归纳出四个状态集合：开始（start）、结束（end）、正负号（signed）、数字（in_number）。
其状态转移过程，如下图所示：
将状态转移过程用表格的形式总结为：
| 状态 | 空格 | 正负号 | 数字 | 其他字符 |
|---|---|---|---|---|
| start | start | signed | in_number | end |
| signed | end | end | in_number | end |
| in_number | end | end | in_number | end |
| end | end | end | end | end |
我们可以创建一个有限状态机来处理字符串，对于字符串中的每一个字符 char，可以根据当前字符转移到下一个状态。
代码实现
INT_MAX = 2 ** 31 - 1
INT_MIN = -2 ** 31
class Automaton:
def __init__(self):
self.state = 'start'
self.sign = 1
self.ans = 0
self.table = {
'start': ['start', 'signed', 'in_number', 'end'],
'signed': ['end', 'end', 'in_number', 'end'],
'in_number': ['end', 'end', 'in_number', 'end'],
'end': ['end', 'end', 'end', 'end'],
}
def get_col(self, c):
if c.isspace():
return 0
if c == '+' or c == '-':
return 1
if c.isdigit():
return 2
return 3
def get(self, c):
# 根据当前字符和当前状态，计算出下一个状态
self.state = self.table[self.state][self.get_col(c)]
# 只需要处理数字状态和符号状态就行了
if self.state == 'in_number':
self.ans = self.ans * 10 + int(c)
self.ans = min(self.ans, INT_MAX) if self.sign == 1 else min(self.ans, -INT_MIN)
elif self.state == 'signed':
self.sign = 1 if c == '+' else -1
class Solution:
def myAtoi(self, str: str) -> int:
automaton = Automaton()
for c in str:
automaton.get(c)
return automaton.sign * automaton.ans
参考：
