【动态规划】矩阵

合集 - 动态规划(15)

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收起

矩阵

矩阵相关的典型应用如下：

序号	题目
1	174. 地下城游戏
2	562. 矩阵中最长的连续1线段

应用

应用1：Leetcode.174

题目

174. 地下城游戏

分析

省略。

代码实现

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]
 
        for i in range(m):
            dp[i][0] = 1
 
        for i in range(n):
            dp[0][i] = 1
 
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        return dp[m - 1][n - 1]

应用2：Leetcode.562

题目

562. 矩阵中最长的连续1线段

解题思路

动态规划

假设 $dp[i][j][k]$ 表示以位置 $(i-1,j-1)$ 结尾的某个方向上最长的连续 $1$ 的个数，其中，$k=0,1,2,3$，分别表示向右、向右下、向下、向左下方向，即：

• $dp[i][j][0]$：以 $(i,j)$ 结尾的水平线段最长 $1$ 的线段长度；
• $dp[i][j][1]$：以 $(i,j)$ 结尾的主对角线段最长 $1$ 的线段长度；
• $dp[i][j][2]$：以 $(i,j)$ 结尾的垂直线段最长 $1$ 的线段长度；
• $dp[i][j][3]$：以 $(i,j)$ 结尾的反对角线段最长 $1$ 的线段长度；

注意，状态 $dp[i][j][k]$ 对应的位置为 $mat[i-1][j-1]$。

边界条件

当矩形大小为零时，最长 $1$ 的线段长度为零，即

$$\begin{array}{r}dp[0][j][k]=0,k\in \{0,1,2,3\}\\ dp[i][0][k]=0,k\in \{0,1,2,3\}\end{array}$$

状态转移

考虑从左上往右下遍历矩阵，对于 $dp[i][j][k]$ ，它可以通过前面已经计算出得状态转移而来，$dp$ 矩阵如下图所示：

因此，对于 $dp[i][j][k]$，存在两种情况：

• 如果当前位置 $mat[i-1][j-1]$ 的值为 $1$，那么，存在如下状态转移过程：

$$\begin{array}{rl}dp[i][j][0]& =dp[i][j-1][0]+1\\ dp[i][j][1]& =dp[i-1][j-1][1]+1\\ dp[i][j][2]& =dp[i-1][j][2]+1\\ dp[i][j][3]& =dp[i-1][j+1][3]+1\end{array}$$

• 如果当前位置 $mat[i-1][j-1]$ 的值为 $0$，那么，以$mat[i-1][j-1]$ 结尾的线段长度都是 $0$，即

$$dp[i][j][k]=0,k\in \{0,1,2,3\}$$

假设矩阵的大小为 $m\times n$，为了避免讨论边界条件，我们将 $dp$ 数组的大小设置为 $(m+2)\times (n+2)$。

我们以下面的矩阵为例，介绍转移过程：

其状态转移过程如下：

因为我们是从左上向右下遍历矩阵，因此，图中的 $dp[2][3]$ 的状态，就可以由 $dp[1][2]$、$dp[1][3]$、$dp[1][4]$ 和 $dp[2][2]$ 转移而来。

代码

class Solution:
    def longestLine(self, mat: List[List[int]]) -> int:
        m, n = len(mat), len(mat[0])
        dp = [[ [0] * 4 for _ in range(n + 2)] for _ in range(m + 2)]
 
        result = 0
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if mat[i - 1][j - 1] == 1:
                    dp[i][j][0] = dp[i][j - 1][0] + 1
                    dp[i][j][1] = dp[i - 1][j - 1][1] + 1
                    dp[i][j][2] = dp[i - 1][j][2] + 1
                    dp[i][j][3] = dp[i - 1][j + 1][3] + 1
                    result = max(result, dp[i][j][0], dp[i][j][1], dp[i][j][2], dp[i][j][3])
        return result