差分数组

目录

• 简介
  • 差分数组
    • 性质
    • 差分数组工具类
• 应用
  • 应用1：Leetcode.1109
    • 题目
    • 题目分析
    • 代码实现
  • 应用2：Leetcode.370
    • 题目
    • 题目分析
    • 代码实现
  • 应用3：Leetcode.1094
    • 题目
    • 题目分析
    • 代码实现

简介

差分数组

与前缀和数组类似，差分数组里的每个元素，是原数组的后项与前项之差，即：

$$diff[i]=\{\begin{array}{ll}nums[0],& i=0\\ nums[i]-nums[i-1],& i\ge 1\end{array}$$

如果已知差分数组，即可反推出原数组，即

$$nums[i]=diff[i]+nums[i-1]$$

例如，设原数组$nums=[1,2,3,4,5,6,7,8]$，那么：

• 差分数组d的计算方法：

diff[0] = nums[0]
for i in range(1, len(nums)):
    diff[i] = nums[i] - nums[i - 1]

• 通过差分数组反推原始数组：

results = [0 for _ in range(len(diff))]
results[0] = diff[0]
for i in range(1, len(diff)):
    results[i] = results[i - 1] + diff[i]

上述过程，其实就是在对$diff$数组的前缀和的过程。

性质

它可以维护多次对序列的一个区间加上一个数，并在最后询问某一位的数或多次询问某一位的数。

它主要适用于频繁对原始数组的某个区间内的所有元素进行增减。

例如，对区间 $nums[i:j]$ 所有元素加 $k$，那么只需两步：

• 要对 $diff[i]+=k$，然后再对 $diff[j+1]-=k$ ；
• 最后对 $diff$ 求一遍前缀和即可。

通过差分数组，可以快速对区间进行增加的操作。

差分数组工具类

差分算法，我们可以将其总结为一个工具类：

from typing import List
 
class Difference(object):
    def __init__(self):
        self.diff = list()
 
    def build(self, nums: List[int]):
        self.diff = [0] * len(nums)
        self.diff[0] = nums[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            self.diff[i] = nums[i] - nums[i - 1]
 
    def increase(self, i: int, j: int, value: int):
        self.diff[i] += value
        if j + 1 < len(self.diff):
            self.diff[j + 1] -= value
 
    def result(self) -> List[int]:
        result = [0] * len(self.diff)
        result[0] = self.diff[0]
        for i in range(1, len(self.diff)):
            result[i] = result[i - 1] + self.diff[i]
        return result

应用

应用1：Leetcode.1109

题目

1109.航班预订统计

这里有 n 个航班，它们分别从 1 到 n 进行编号。
有一份航班预订表 bookings ，表中第 i 条预订记录 bookings[i] = [firsti, lasti, seatsi] 意味着在从 firsti 到 lasti （包含 firsti 和 lasti ）的 每个航班 上预订了 seatsi 个座位。
请你返回一个长度为 n 的数组 answer，里面的元素是每个航班预定的座位总数。

示例 1：

输入：bookings = [[1,2,10],[2,3,20],[2,5,25]], n = 5
输出：[10,55,45,25,25]
解释：
航班编号 1 2 3 4 5
预订记录 1 ： 10 10
预订记录 2 ： 20 20
预订记录 3 ： 25 25 25 25
总座位数： 10 55 45 25 25
因此，answer = [10,55,45,25,25]

题目分析

原题可以转换为给定长度为 $n$ 的数组 $nums$，依次对区间 $[left,right]$ 里面的每一个元素增加 $seats$，最后求修改后的数组。

代码实现

class Solution:
    def corpFlightBookings(self, bookings: List[List[int]], n: int) -> List[int]:
        """ 航班预订统计 """
        nums = [0] * n
        df = Difference()
        df.build(nums)
        for booking in bookings:
            # 注意：由于航班号是从1开始的，所以索引序号需要减一
            i = booking[0] - 1
            j = booking[1] - 1
            value = booking[2]
            df.increase(i, j, value)
        return df.result()

应用2：Leetcode.370

题目

370.区间加法

题目分析

为了求操作之后的数组，我们只需要对差分数组求前缀和，就可以得到原始数组。

代码实现

class Solution:
    def getModifiedArray(self, length: int, updates: List[List[int]]) -> List[int]:
        nums = [0] * length
        df = Difference()
        df.build(nums)
        for update in updates:
            df.increase(update[0], update[1], update[2])
        return df.result()

应用3：Leetcode.1094

题目

1094.拼车

题目分析

将行程中的公里数看成位置坐标，只需要记录有上下客的每个里程区间内的乘客数量，最后再求出乘客数最大的区间，看是否满足汽车的空位即可。

很明显，上下乘客的过程，就可以对区间做增加的过程，所以，直接利用差分数组的性质，计算差分数组，再通过差分数组，反推出原数组即可。

代码实现

MAX_MILE = 1001
class Solution:
    def carPooling(self, trips: List[List[int]], capacity: int) -> bool:
        nums = [0] * MAX_MILE
        df = Difference()
        df.build(nums)
        for trip in trips:
            # 由于乘客在trip[2]就下车了，所以实际乘客在车上的旅程为[trip[1], trip[2]-1]
            df.increase(trip[1], trip[2] - 1, trip[0])
        return max(df.result()) <= capacity