二分搜索

目录

• 介绍
  • 基本的二分搜索
    • 思路
    • 代码实现
  • 查找左边界的二分搜索
    • 思路
    • 代码实现
  • 查找右边界的二分搜索
    • 思路
    • 代码实现

介绍

二分查找适用于已经排序的序列，通过对搜索区间折半的方式查找目标元素。

基本的二分搜索

基本的二分查找适用于在已经排序的无重复元素的序列中，查找一个目标值。。

思路

查找左边界的二分搜索，假设查找区间为 $[0,n]$ ，那么：

• 如果中间元素 $nums[mid]$ 大于目标值，右指针移动到 $mid-1$ 位置;

• 如果中间元素 $nums[mid]$ 小于目标值，左指针移动到 $mid+1$ 的位置；

• 如果中间元素 $nums[mid]$ 等于目标值，则结束查找，返回结果；

注意：如果遍历完整个序列，都没有找到匹配的值，那说明序列中不包含目标值。

代码实现

from typing import List
def binary_search(nums: List[int], target: int):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] == target:
            return mid
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1
 
if __name__ == "__main__":
    print(binary_search([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], 6))

查找左边界的二分搜索

如果已经排序的序列包含重复元素，即待查找的目标值target可能包含重复元素，就需要换一种方式查找。
例如，我们要从升序的序列$nums=[1,2,3,4,5,5,5,6,6,7,8]$，中查找第一个出现的元素$5$的序号，那么就要用到查找左边界的二分搜索方法。

思路

查找左边界的二分搜索，假设查找区间为 $[0,n-1]$，那么：

• 如果中间元素 $nums[mid]$ 大于等于目标值，下一个查找区间为：$[left,mid-1]$，右指针移动到 $mid-1$ 位置;

• 如果中间元素 $nums[mid]$ 小于目标值，下一个查找区间为：$[mid+1,right]$，左指针移动到 $mid+1$ 的位置。

注意，这里的循环条件，极端情况下 left 最多可以等于 n。

循环的退出条件为：$left=right+1$，此时，如果目标值存在，则：$nums[left]\le target$，因此，目标值的右边界为：$nums[left]$。

如果查找完所有的元素后，左指针针超出数组边界，或者，左指针指向的元素不等于目标值，则，原始数组中不存在目标值；否则，就返回左指针。

代码实现

public class BinarySearch {
    static int leftBinarySearch(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            // 如果区间的中点值大于等于目标值，要移动右指针
            if (nums[mid] >= target) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
 
        if (left > nums.length - 1 || nums[left] != target) {
            return -1;
        }
        return left;
    }
}

查找右边界的二分搜索

同理，如果我们要从升序序列中查找出最后一次出现的元素，就要通过查找右边界的二分搜索方法。

思路

查找右边界的二分搜索，假设查找区间为 $[0,n-1]$ ，那么：

• 如果中间元素 $nums[mid]$ 大于目标值，下一个查找区间为：$[left,mid-1]$，因此，右指针移动到 $mid-1$ 位置；

• 如果中间元素 $nums[mid]$ 小于等于目标值，下一个查找区间为：$[mid+1,right]$，左指针移动到 $mid+1$ 的位置；

循环的退出条件为：$left=right+1$，此时，如果目标值存在，则：$nums[right]\ge target$，因此，目标值的右边界为：$nums[right]$。

如果指针 $right$ 不在数组内，或者，指针 $right$ 指向的元素不等于目标值，那么原始数组不包含目标值，否则，就返回指针 $right$。

代码实现

public class BinarySearch {
    static int rightBinarySearch(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            // 如果区间的中点值小于等于目标值，要移动左指针
            if (nums[mid] <= target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
 
        if (right < 0 || nums[right] != target) {
            return -1;
        }
        return right;
    }
}