【动态规划】最长公共子序列
最长公共子序列
最长公共子序列（Longest Common Subsequence），英文缩写为LCS，是动态规划中的经典问题。其定义是，一个序列 S，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
典型应用如下：
| 序号 | 题目 |
|---|---|
| 1 | 1143. 最长公共子序列 |
| 2 | 583. 两个字符串的删除操作 |
应用
应用1：Leetcode.1143
题目
解题思路
我们使用动态规划求解，设 \(dp[i][j]\) 表示字符串 \(text_1\) 的前 \(i\) 个字符，与字符串 \(text_2\) 的前 \(j\) 个字符的最长公共子序列。
即子串 \(text_1[:i-1]\) 与 \(text_2[:j-1]\) 的最长公共子序列的长度，注意，数组序号是从 \(0\) 开始的，\(i-1\) 表示前 \(i\) 个字符。
初始状态
当其中一个字符串的长度为 \(0\) 时，没有公共子序列，所以，任意一个字符长度为 \(0\) 时，最长公共子序列的长度为 \(0\) ，即：
\[\begin{align}
dp[0][j] = 0 \\
dp[i][0] = 0
\end{align}
\]
状态转移
我们分别枚举两个字符串，会出现两种情况：
- 如果当前两个字符相等，那么当前状态 \(dp[i][j]\) 就可以由上一个状态 \(dp[i - 1][j - 1]\) 加 \(1\) ；
- 如果当前两个字符不相等，那么当前状态 \(dp[i][j]\) 就要从 \(dp[i][j - 1]\) 或者 \(dp[i - 1][j]\) 中取最大值。
所以，状态转移方程如下：
\[dp[i][j]=
\begin{cases}
dp[i - 1][j - 1] + 1, & text_1[i] = text_2[j] \\
max(dp[i][j - 1],\ dp[i - 1][j]), & text_1[i] \neq text_2[j] \\
\end{cases}
\]
代码
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
m, n = len(text1), len(text2)
dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
# 如果当前两个字符串中的字符相等，则直接移动两个字符串的指针
if text1[i -1] == text2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j])
return dp[m][n]
应用2：Leetcode.583
题目
解题思路
先找到两个字符串的最长公共子序列，然后再用两个字符串的长度分别减去最长公共子序列长度，剩下的就是不相等的字符，即要删除字符。
算法的思路：
- 先求两个字符串的最长公共子序列；
- 需要删除的字符，就是公共子序列；
代码实现
class Solution:
def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
m, n = len(word1), len(word2)
length = self.lcs(word1, word2)
return m - length + n - length
def lcs(self, text1: str, text2: str):
m, n = len(text1), len(text2)
dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j])
return dp[m][n]
总结
动态规划的本质就是：枚举所有的状态，并寻找最优解。
