一元二次、一元三次、一元四次方程的求根公式

代码用python写的。

一元二次方程：

def Quadratic(args):
    a,b,c=args
    D = cmath.sqrt(b**2-4*a*c)
    x1 = (-b+D)/(2*a)
    x2 = (-b-D)/(2*a)
    roots = [x1,x2]
    return roots

一元三次方程：

 

 

def Cubic(args):
    a,b,c,d = args
    p = c/a-b**2/(3*a**2)
    q = d/a+2*b**3/(27*a**3)-b*c/(3*a**2)
    w = complex(-0.5,(3**0.5)/2)
    ww = complex(-0.5,-(3**0.5)/2)
    A = cmath.sqrt((q/2)**2+(p/3)**3)
    B = ThreeSquare(-q/2+A)
    C = ThreeSquare(-q/2-A)
    y1 = B+C
    y2 = w*B+ww*C
    y3 = ww*B+w*C
    D = b/(3*a)
    roots=[RoundAns(y1-D,6),RoundAns(y2-D,6),RoundAns(y3-D,6)]
    return roots

一元四次方程：

 

 

for k=0,1,2,计算m

 如果三个m的值都为0，则

 否则的话，取|m|最大的那个k，并计算

 

def Quartic(args):
    a,b,c,d,e = args
    P = (c**2+12*a*e-3*b*d)/9
    Q = (27*a*d**2+2*c**3+27*b**2*e-72*a*c*e-9*b*c*d)/54
    D = cmath.sqrt(Q**2-P**3)
    u = ThreeSquare(Q+D) if abs(Q+D)>=abs(Q-D) else ThreeSquare(Q-D)
    v = 0 if u==0 else P/u
    w = complex(-0.5,3**0.5/2)
    m = []
    M = []
    flag = 0
    roots = []
    for i in range(3):
        x = cmath.sqrt(b**2-8*a*c/3+4*a*(w**i*u+w**(3-i)*v))
        m.append(x)
        M.append(abs(x))
        if m == 0:
            flag=flag+1
    if flag == 3:
        mm = 0
        S = b**2-8*a*c/3
        T = 0
    else:
        t = M.index(max(M))
        mm = m[t]
        S = 2*b**2-16*a*c/3-4*a*(w**t*u+w**(3-t)*v)
        T = (8*a*b*c-16*a**2*d-2*b**3)/mm
    x1=(-b-mm+cmath.sqrt(S-T))/(4*a)
    x2=(-b-mm-cmath.sqrt(S-T))/(4*a)
    x3=(-b+mm+cmath.sqrt(S+T))/(4*a)
    x4=(-b+mm-cmath.sqrt(S+T))/(4*a)
    roots.append(x1)
    roots.append(x2)
    roots.append(x3)
    roots.append(x4)
</span><span style="color: #0000ff;">return</span> roots</pre>

完整代码见：

https://github.com/Larissa1990/Solve-cubic-and-quartic-equations-with-one-unknown/blob/master/README.md

 

补充内容：

1.一元三次方程的求根公式的推导过程

标准的一元三次方程如式1所示

$ax^3+bx^2+cx+d=0$ （1）

令$y=x-\frac{b}{3a}$，则可以将式1变换成如式2所示的缺项形式

$y^3+py+q=0$ (2)

其中，$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}$, $q=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}$。式2具有两个自由度，因此猜测方程一个根的形式如式3所示

$y=\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}$ (3)

令，$A=\sqrt[3]{u}$,$B=\sqrt[3]{v}$，则将该根带入式2可得

$A^3+B^3+3AB(A+B)+p(A+B)+q=0$ (4)

进而转换为如下方程组

$\left\{\begin{matrix} p=-3AB \\ q=-(A^3+B^3) \end{matrix}\right.$

根据这个方程组求A，B的时候，会得到一个以$A^3$或者$B^3$为变量的一元二次方程，进而可以得到A,B的值如式5所示

$A,B=\sqrt[3]{\pm \sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}-\frac{q}{2}}$ (5)

因此，得到了式2的一个根，如式6所示

$y_{1}=\sqrt[3]{\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}-\frac{q}{2}}+\sqrt[3]{-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}-\frac{q}{2}}$ （6）

我们知道，式2也可以写成的形式$(y-y_{1})(y^2+Ey+F)=0$，那么已经求出了$y_{1}$，剩下两个根只需要解一个一元二次方程就可以了。求出了式2的三个根，再根据$y=x-\frac{b}{3a}$变换回去，就得到了一元三次方程标准形式的根。