线性筛欧拉-洛谷P2158 [SDOI2008]仪仗队

https://www.luogu.org/problem/show?pid=2158
题目就是求1~n的phi[i]的和
然后*2+1；
这个找规律即可，我们会发现对于点[x,y]如果(x,y)=1那么就可以看见；
这个就是欧拉函数呀；
我们先回顾一下最基本的求1~n的质数的方法；

for (int i=2;i*i<=m;i++)
        if (s[i]==0)
        for (int j=2;j<=m/i;j++)s[i*j]=1;//筛法求素数
    s[1]=1;//1不是质数（我忘记加了这句话，错了1次）

这个时间O(nlog(n))
反正比O(n)大，而且只能求出质数有哪些；
我们在回顾一下欧拉函数
http://blog.csdn.net/largecub233/article/details/60782683

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对于这题，我们要在线性的时间看i求φ（1~n）；
φ和five同音（好像），所以写为phi;
方法1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#define Ll long long
using namespace std;
int ans,n,phi[40001];//phi[i]表示1~i中和i互质的数 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<n;i++){
        if(!phi[i])//可以知道，当这时，i一定是质数，思路和上面差不多 
        for(int j=i;j<=n;j+=i){//查看质数i的倍数 
            if(!phi[j])phi[j]=j;//如果phi[j]一开始是0，先假设1~j都和j互质
            //但要注意，这个赋值不可以一开始初始化
            //因为我们要靠这个数组来判断i是不是质数 
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//先把a割成每段都是i个的，再乘以（i-1）不就把i的倍数给漏掉了吗？
            //当然喽，这里phi[j]显然是i的倍数 因为j+=i
        }
        ans+=phi[i];
    }
    printf("%d",ans*2+3);
}

上面那个方法思路就是用每个数x，用x的所有质因数去更新x;
那我们来看欧拉筛
我们要知道3个东西
1.如果x是质数phi[x]=x-1;
这个显然；

2.对于数i，质数j，如果i%j>0那么i,j互质，因为phi是积性函数，phi[i*j]=phi[i]*phi[j]
当然这里phi[j]=j-1;
什么？你问我什么是积性函数？
如果当i,j互质，f[i*j]=f[i]*[j]那么f就是积性函数；
什么？你问我为什么phi是积性函数；

我也不知道；

3.对于数i，质数j，如果i%j==0;
那么phi[i*j]=phi[i]*j;
我一开始很懵逼；
后来发现这个很傻逼的；

因为i%j==0;
那么i和i*j的质因数会不会变？
不会啊，因为j本来就是i的质因数啊；
既然这样，对于上面的通式，p1,p2,p3….不会变；
那么是不是就是x多乘了个j
那么phi[i*j]=phi[i]*j;
对吧；

既然我们知道了上面的3点，我们是不是可以用数x的任一一个因数来推出phi[x];
那我们让每一个数只被其最小的质因数访问，时间是不是变成了O(n)?

从2到n枚举一个i，然后从小到大枚举≤i的质数j。
如果j不是i的因数，那么i*j的最小质因子就是j，并且可以把i*j标记为合数。
否则如果j|i，那么j是i的最小质因子，那么j也是i*j的最小质因子，但j的下一个质数k不是i*k的最小质因子（j才是），那么把i*j标记为合数，并且停止枚举j。可以发现，这个算法可以将所以合数筛去，并且每个合数都只被自己的最小质因子筛去一遍且仅一遍。

对吧？

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#define Ll long long
using namespace std;
int ans,n;
int phi[40001],pri[40000],tot;
bool com[40001];//pri质数简写,com合数简写 
void make(int n){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!com[i]){phi[i]=i-1; pri[++tot]=i;}//如果是质数 
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(i*pri[j]>n)break;
            com[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j])phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];else//积性函数 
                {phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}//通式求解 
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    make(n);
    for(int i=2;i<n;i++)ans+=phi[i];
    printf("%d",ans*2+3);
}

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当我兴奋地交了欧拉时

？？？？
为什么欧拉筛慢？？？？？
我用ctime记录了时间
n=40000;
欧拉 0ms
非欧拉 0ms

n=1000000
欧拉 16ms
非欧拉 46ms

n=1e8
欧拉 2500ms
非欧拉 7866ms
貌似大数据欧拉才有优势；

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然后我发现等我写完博客我就不用做题，可以直接睡觉了；
呵呵；

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那么欧拉怎么筛质数呢？
是不是只要枚举到sqrt(n)就好了呢？
不是的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e2;
int q[M+5],tot;
bool com[M+5];
void findcom(){
    com[1]=1;
    for(int i=2;i<=M;i++){
        if(!com[i]){q[++tot]=i;}
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(i*q[j]>M)break;//一定要加
            com[i*q[j]]=1;
            if(i%q[j]==0)break;
        }
    }
}
int main(){
    findcom();
    for(int i=1;i<=tot;i++)cout<<q[i]<<endl;
}

不难看出，虽然100的最小质因数是2，但只有i枚举到50的时候100才会被50*2跟新；