数学,线性筛——洛谷P1390 公约数的和

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1390
洛谷大佬的题解

设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+gcd(3,n)+…+gcd(n-1,n),
则结果为f(2)+f(3)+…+f(n)
由于所有gcd(x,n)的值都是n的约数,可以按这个约数分类。
用g(n,i)表示满足gcd(x,n)=i且x < n的正整数x的个数,则有
f(n)=Σ{g(n,i)*i|i为n的约数}.
由于gcd(x,n)=i的充要条件是(x/i)与(n/i)互质,因此满足条件的(x/i)有φ(n/i)个
因此:g(n,i)=φ(n/i).
故: f(n)=Σ{φ(n/i)*i|i为n的约数}
如果依次计算f(n),需要枚举每个n的约数i,速度较慢。而把思维逆转,对于每个i枚举其倍数n,更新f(n)的值,时间复杂度将与素数筛法同阶。

orz

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define Ll long long
using namespace std;
const int N=2000005;
bool com[N];
int phi[N],pri[N],tot;
Ll ans;
void make(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!com[i]){pri[++tot]=i;phi[i]=i-1;}
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(i*pri[j]>n)break;
            com[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j])phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
            else{phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
        }
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j*i<=n;j++)ans+=i*phi[j];
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    make(n);
    printf("%lld",ans);
}
posted @ 2017-04-25 10:59  largecube233  阅读(200)  评论(0编辑  收藏  举报