P3246 [HNOI2016] 序列 题解

P3246 [HNOI2016] 序列

直到最后一步都是容易想到的，而最后一步恰是本题的关键所在。

首先看到 ST 表和莫队是容易想到的，那么有了莫队就应该考虑如何扩展区间。我们尝试把 $[l,r]$ 扩展到 $[l,r+1]$，发现需要知道 $min[l,r],min[l+1,r],\dots ,min[r,r]$。这个东西直接做显然是不好做的，但是由于它显然具有单调性，考虑如果我们求出了每个值作为区间最小值的区间，应该就能求出答案。

单调栈应该就有了。

但每次扩展的时候都跑一遍单调栈显然不现实，那么我们先预处理 $\text{lf}(i)$ 和 $\text{rf}(i)$ 分别表示 $a_i$ 作为区间最小值的区间左端点和右端点，这个显然一正一反两遍单调栈就能 $O(n)$ 求出。但我们还是不知道如何求解答案。考虑一个区间 $[l,r]$ 扩展到 $[l,r+1]$，$[l,r+1]$ 的最小值 $a_p$ 能提供贡献的区间左端点为 $[l,p]$，那么它能提供的贡献显然是 $a_p\times (p-l+1)$，考虑求剩下这部分的贡献。

下面是核心内容。考虑设一个 $f_{l,r}$ 表示以 $r$ 为右端点、左端点在 $[l,r]$ 区间内的答案，利用我们刚才求出的 $\text{lf}(i)$ 可以得到转移：$f_{l,r}=f_{l,\text{lf}(i)}+a_r\times (r-\text{lf}(r))$。发现和 $l$ 无关，于是自然可以去掉 $l$ 这一维，于是我们发现这个东西是可以预处理的。所以上面所说 “剩下这部分的贡献” 就是 $f_r-f_p$。

于是这题就做完了。

using ll=long long;
constexpr int MAXN=1e5+5;
int n,Q,t,F,logn[MAXN],f[MAXN][21];
int lf[MAXN],rf[MAXN],stk[MAXN],top;
ll a[MAXN],sml[MAXN],smr[MAXN],ans[MAXN];
struct Ask{
	int l,r,id;
	bool operator<(const Ask&x)const{
		return l/t!=x.l/t?l<x.l:l/t&1?r<x.r:r>x.r;
	}
}q[MAXN];

void ST(){
	for(int j=1;j<=F;j++)
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
			f[i][j]=Min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int amn(int l,int r){
	int s=logn[r-l+1];
	return Min(f[l][s],f[r-(1<<s)+1][s]);
}
ll gtl(int l,int r){
	int mn=amn(l,r);
	return a[mn]*(r+1-mn)+smr[l]-smr[mn];
}
ll gtr(int l,int r){
	int mn=amn(l,r);
	return a[mn]*(mn-l+1)+sml[r]-sml[mn];
}

int main(){
	n=read(),Q=read();
	F=__lg(n),t=sqrt(n);
	a[0]=a[n+1]=-2e9,logn[0]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		logn[i]=logn[i>>1]+1;
		f[i][0]=i;
		while(top&&a[stk[top]]>=a[i]) top--;
		lf[i]=stk[top];
		sml[i]=sml[lf[i]]+a[i]*(i-lf[i]);
		stk[++top]=i;
	}
	stk[top=1]=n+1;
	for(int i=n;i;i--){
		while(top&&a[stk[top]]>=a[i]) top--;
		rf[i]=stk[top];
		smr[i]=smr[rf[i]]+a[i]*(rf[i]-i);
		stk[++top]=i;
	}
	ST();
	for(int i=1;i<=Q;i++) q[i]={read(),read(),i};
	sort(q+1,q+Q+1);
	ll cnt=0;
	for(int i=1,l=1,r=0;i<=Q;i++){
		while(l>q[i].l) cnt+=gtl(--l,r);
		while(r<q[i].r) cnt+=gtr(l,++r);
		while(l<q[i].l) cnt-=gtl(l++,r);
		while(r>q[i].r) cnt-=gtr(l,r--);
		ans[q[i].id]=cnt;
	}
	for(int i=1;i<=Q;i++) write(ans[i]);
	return fw,0;
}