Manacher

Manacher

下面的叙述中，约定字符串下标从 \(0\) 开始。

定义

Manacher 算法应用于一个特定场景：静态求一个字符串的最长回文子串。复杂度 \(O(N)\)，是这种场景中效率最高的回文串算法。

首先考虑暴力法：枚举中心点，向左右扩展，判断它左右对称的位置是否相同。暴力法的复杂度上界显然是 \(O(N^2)\) 的。

考虑暴力法低效的原因，是因为有大量的重复检查。Manacher 就是利用回文串的性质，通过辅助数组 \(P\) 来改善，最终做到 \(O(N)\) 的复杂度。

实现

首先，因为回文串分长度为奇数和偶数两种情况，所以先对字符串做一个特殊处理：在 \(S\) 的每个字符的左右插入一个奇怪字符，比如 \(\tt\#\)。那么就把长度为奇数的 \(\tt abcba\) 变换成了 \(\tt\#a\#b\#c\#b\#a\#\)，中心字符为 \(\tt a\)；把长度为偶数的 \(\tt abba\) 变换成了 \(\tt\#a\#b\#b\#a\#\)，中心字符为 \(\tt\#\)。相当于把两种情况简化为了只有奇数一种情况。

然后是 Manacher 算法的核心：定义数组 \(P(i)\) 表示以字符 \(S_i\) 为中心字符的最长回文串的半径。显然，如果已经计算出 \(P(i)\)，那么最大的 \(P(i)-1\) 就是答案，且这个回文串的开头位置是 \(\dfrac{i-P(i)}2\)。现在的任务是高效地计算 \(P(i)\)。

假设已经计算出了 \(P(0)\sim P(i-1)\)，下一步继续计算 \(P(i)\)。令 \(R\) 为 \(P(0)\sim P(i-1)\) 这些回文串中最大的右端点，\(C\) 是这个回文串的中心点。显然 \(R=C+P(C)\)。现在 \(R\) 左边的字符都已经检查过，只有 \(R\) 右边的字符还没有检查。

下面计算 \(P(i)\)，设 \(j\) 是 \(i\) 关于 \(C\) 的镜像点，\(P(j)\) 已经计算出来，然后分类讨论：

• 若 \(i\ge R\)，由于 \(R\) 右边的字符还没有检查过，所以只能暴力扩展；
• 若 \(i<R\)，则按照 \(j\) 和回文串 \(C\) 的左端点的位置关系细分为两种情况：若 \(j\) 在 \(C\) 的左端点右侧，因为以 \(i\) 为结尾的回文串不会越过 \(R\)，得 \(P(i)=P(j)=P(2C-i)\) 作为初始值，然后暴力扩展完成 \(P(i)\) 的计算；若 \(j\) 在 \(C\) 的左端点左侧，则只能先计算在 \(R\) 内的 \(P(i)\) 部分作为初始值，然后再用暴力中心扩展法。

实际代码实现中，这两种情况可以合并计算。

代码（P3805 【模板】manacher）

比较好的一点是，遇到多测，\(P\) 数组无需清空。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

constexpr int MAXN=1.1e7+5;
int n,P[MAXN<<1];
string s1,s;

void init(){
	s+="$#";
	for(auto x:s1) s+=x,s+='#';
	s+='&';
	n=s.size();
}
// 背板！
void manacher(){
	int R=0,C=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		P[i]=i<R?min(P[(C<<1)-i],P[C]+C-i):1;
		while(s[i+P[i]]==s[i-P[i]]) P[i]++;
		if(R<P[i]+i) R=P[i]+i,C=i;
	}
}

int main(){
	cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(0);
	cin>>s1;
	init();
	manacher();
	cout<<*max_element(P,P+n)-1<<'\n';
	return 0;
}

复杂度

实际上，Manacher 算法的本质是在扩展 \(R\)。而因为 \(R\) 的扩展是单调的，所以每个字符最多被扩展到一次，因此复杂度是 \(O(2N)=O(N)\) 的。

后记

实际上，Manacher 算法可以求解具有回文串类似的性质的问题，也就是满足 \(\forall i\in[1,n]\)，\(\operatorname{check}(S_i,S_{n-i+1})=\texttt{true}\) 的问题，都可以用 Manacher 求解。普遍来说代码是这样的：

void manacher(){
	int R=0,C=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		P[i]=i<R?min(P[(C<<1)-i],P[C]+C-i):check(i,i);
		while(check(i-P[i],i+P[i])) P[i]++;
		if(R<P[i]+i) R=P[i]+i,C=i;
	}
}

注意边界情况的特判。

例题

• [BZOJ3790] 神奇项链

  求出原串的所有回文子串，记录右端点，问题即转化为用最少的线段覆盖整个区间的贪心问题。贪心地记录最右端点即可。

• P1659 [国家集训队] 拉拉队排练

  求出 \(P(i)\) 后，统计每种长度的回文串的出现次数，如果 \(k\) 比回文串的种类多则无解。考虑到如果有长度为 \(i\) 的回文串则一定有长度为 \(i-2\) 的回文串，所以求后缀和就可以知道每种串的出现次数。长度为 \(i\) 的回文串给答案的贡献是 \(i^{\text{cnt}(i)}\)，其中 \(\text{cnt}(i)\) 是它的出现次数。

• P2601 [ZJOI2009] 对称的正方形

  二维回文，略显毒瘤。考虑一个合法正方形的充要条件就是每一行和每一列都是回文串，那么先对每一行和每一列各跑一边 Manacher 并记录下 \(P(i)\)。然后考虑到以一个点为中心，如果在横向上能扩展半径为 \(r\) 的单位，那么这些单位在纵向上的最长回文半径肯定是不能小于 \(r\) 的。于是用二分找到以每个点为中心能横向扩展的最长长度。纵向同理。然后对于每个中心的横向/纵向最长扩展长度取 \(\min\) 并累加即可。注意我们依然需要在字符间添加 \(\tt\#\) 字符来统计，但最后能作为中心的 \(\tt\#\) 字符仅包含满足其左上/左下/右上/右下都是数字的 \(\tt\#\) 字符。