0/1 分数规划

合集 - 学习笔记(20)

1.数论总结2024-08-192.平衡树总结2024-08-203.扫描线总结2024-08-244.组合数学总结2024-08-235.卡特兰数、Prufer 序列、BSGS 总结2024-08-236.概率和期望总结2024-08-237.基环树和笛卡尔树总结2024-11-248.拉格朗日插值学习笔记2024-11-279.虚树01-2710.同余最短路01-2111.CDQ 分治 && 整体二分01-2012.点分治&&点分树01-1513.差分约束 + 01BFS2024-11-2914.二分图2024-10-2315.网络流02-13

16.0/1 分数规划02-04

17.后缀数组 SA02-2318.Manacher02-2319.回文自动机 PAM02-2420.后缀自动机 SAM03-09

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0/1 分数规划

0/1 分数规划模型是指，给定整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 和 $b_1,b_2,\dots ,b_n$，求一组解 $x_i\in [0,1]$，使下式最大/最小化：

$$\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i}$$

换句话说，选一定的 $a_i$ 和 $b_i$ 组成一个集合 $S$，求

$$\frac{\sum a_i\in S}{\sum b_i\in S}$$

的最值。

这种问题的一般解决方法是设答案为 $\mathit{ans}$，即

$$\mathit{ans}=\frac{\sum a_i}{\sum b_i},$$

然后将式子变形，得

$$\mathit{ans}\times \sum b_i+\sum a_i=0$$

即

$$\sum (\mathit{ans}\times b_i+a_i)=0$$

答案具有可二分性。所以我们解决这类问题的方法一般就是二分答案，初始 $l=0,r=\mathrm{\infty }$，每次判定 $\sum (\mathit{mid}\times b_i+a_i)$ 的正负，直到找到在误差范围内最接近的答案。复杂度是 $O(\log V)$ 的。

还有一种更高级的方法叫做 Dinkelbach 迭代法，没用。

最优比率生成树

一般来说 0/1 分数规划不会直接考，而是套在一些别的东西中，比如最优比率生成树。题意一般是给定一个图，每条边有两个边权 $a_i,b_i$，求这张图的生成树的 ${\displaystyle \frac{\sum a_i}{\sum b_i}}$。

依然二分，每次跑一遍 Kruskal 求出上面那个式子，然后二分答案判定即可。

[ARC026D] 道を直すお仕事

板子题，但注意到这题并不要求一定是棵生成树，所以边权为负的边一定是会选的，把所有边权为负的边选完之后再判断边权为正的边选不选。

using ll=long long;
constexpr int MAXN=10005,MAXM=10005;
constexpr double eps=1e-6;
int n,m;
struct Edge{
	ll u,v,c,t;
}e[MAXM];
int f[MAXN];
int fnd(int x){
	return f[x]==x?x:f[x]=fnd(f[x]);
}
double kruskal(double x){
	iota(f+1,f+n+1,1);
	int s=0;
	for(int i=1;i<=m;++i) if(x*e[i].t-e[i].c>=-eps) ++s;
	sort(e+1,e+m+1,[&](const Edge&a,const Edge&b){
		return x*a.t-a.c>x*b.t-b.c;
	});
	double res=0;
	for(int i=1;i<=s;++i){
		f[fnd(e[i].u)]=fnd(e[i].v);
		res+=x*e[i].t-e[i].c;
	}
	for(int i=s+1;i<=m;++i){
		int fx=fnd(e[i].u),fy=fnd(e[i].v);
		if(fx==fy) continue;
		f[fy]=fx;
		res+=x*e[i].t-e[i].c;
	}
	return res;
}

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i) e[i]={read()+1,read()+1,read(),read()};
	double l=0,r=1e18;
	while(r-l>eps){
		double mid=(l+r)/2;
		if(kruskal(mid)<-eps) l=mid;
		else r=mid;
	}
	printf("%.4f\n",l);
	return 0;
}

P4951 [USACO01OPEN] Earthquake

这道题求的是 ${\displaystyle \frac{F-\sum a_i}{\sum b_i}}$。同理，将原式变换为 $F=\sum (\mathit{ans}\times b_i+a_i)$，每次二分答案判定和 $F$ 的大小关系即可。