[CF1687C] Sanae and Giant Robot 题解

[CF1687C] Sanae and Giant Robot

并查集？不，这是一道奇妙的转化题。

首先，设 $c_i=a_i-b_i$，则原题操作转化为：当某个 $[l_i,r_i]$ 满足 $\sum _{j=l_i}^{r_i}{c}_j=0$ 时，可以将 $c_{l_i\sim r_i}$ 清零。目标是让 $c_i$ 全部清零。

第二步，观察到第一步中的 $\sum _{j=l_i}^{r_i}{c}_j$ 是连续子段和的形式，考虑构造前缀和。设 $s_i=\sum _{j=1}^i{c}_j$。则原题操作转化为：当某个 $s_{l_i-1}=s_{r_i}$ 时，可以将 $s_{l_i\sim r_i}$ 全部赋值为 $s_{r_i}$，目标仍是让 $s_i$ 全部清零。

第三步，注意到因为目标是清零 $s_i$，所以如果 $s_{l_i-1}=s_{r_i}\ne 0$，操作是不优的，我们只应在 $s_{l_i-1}=s_{r_i}=0$ 时操作。

现在原题变得很简单了。我们处理出 $s_i$ 后，每次找一对 $s_{l_i-1}=s_{r_i}=0$，然后清零 $s_{l_i\sim r_i}$，直到不能再操作为止。最终若 $s_i$ 全部清空，则为 YES；反之则为 NO。

具体维护方面，用一个 set 维护所有 $s_i\ne 0$ 的 $i$，用一个 queue 维护所有 $s_i=0$ 的 $i$，用一个 vector 记录下来所有 $l-1,r$ 的相对关系。从 queue 中取出一个 $s_i=0$ 的点 $i$，遍历所有和 $i$ 相连的点 $j$，若 $s_j=0$ 则清空 set 中 $[i,j]$ 的元素，最后检查 set 是否为空即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;
constexpr int MAXN=2e5+5;
int T,n,m,a[MAXN],b[MAXN];
ll s[MAXN];
vector<int>g[MAXN];
set<int>st;
queue<int>q;

int main(){
	cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(0);
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n>>m;
		st.clear();
		q.emplace(0);
		for(int i=0;i<=n;++i) g[i].clear();
		for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
		for(int i=1;i<=n;++i){
			cin>>b[i];
			s[i]=s[i-1]+a[i]-b[i];
			if(s[i]) st.emplace(i);
			else q.emplace(i);
		}
		for(int i=1,u,v;i<=m;++i){
			cin>>u>>v;
			g[u-1].emplace_back(v);
			g[v].emplace_back(u-1);
		}
		while(!q.empty()){
			int u=q.front();
			q.pop();
			for(auto v:g[u]){
				if(s[v]) continue;
				int l=min(u,v),r=max(u,v);
				for(auto it=st.lower_bound(l);it!=st.end()&&*it<=r;it=st.erase(it))
					s[*it]=0,q.emplace(*it);
			}
		}
		cout<<(st.empty()?"YES\n":"NO\n");
	}
	return 0;
}