[USACO21DEC] Tickets P 题解

[USACO21DEC] Tickets P

首先我们思考暴力的 $O(n^2)$ 怎么做。显然比起每次以 $i$ 为起点跑 $n$ 遍最短路，建反图后分别以 $1$ 和 $n$ 为起点跑两遍最短路是更加经济的方式。然后你可能会以为 $\text{dis}(1,i)+\text{dis}(n,i)$ 就是答案了，之后你就会发现连样例都过不去。

为什么呢？假如说 $n=4$，$i=3$，此时 $\text{path}(1,3)=1\to 2\to 3$，而 $\text{path}(3,4)=3\to 2\to 4$，那么 $(2,3)$ 这条边就算重了。

如何解决？方法是将 $(\mathrm{\forall }i)\text{dis}(1,i)+\text{dis}(n,i)$ 作为每个点的初始 $\text{dis}$，然后再跑一遍最短路，此时得到的 ${\text{dis}}_i$ 就是每个点的答案了。然后你又会发现一个问题，就是某些点它转移不到。所以建边的时候一定是先把当前点和一个虚点连一条有花费的边，再把虚点和区间上的所有点连边权为 0 的边。这样跑出来的就是正确的。

37pts 就有了。

怎么优化到 100pts？线段树优化建图即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define fw fwrite(obuf,p3-obuf,1,stdout)
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#define putchar(x) (p3-obuf<1<<20?(*p3++=(x)):(fw,p3=obuf,*p3++=(x)))
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll
using namespace std;

char buf[1<<20],obuf[1<<20],*p1=buf,*p2=buf,*p3=obuf,str[20<<2];
int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
}
template<typename T>
void write(T x,char sf='\n'){
	if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;
	int top=0;
	do str[top++]=x%10,x/=10;while(x);
	while(top)putchar(str[--top]+48);
	if(sf^'#')putchar(sf);
}
using ll=long long;
using pli=pair<ll,int>;
constexpr int MAXN=4e5+5;
int n,k,tn;
struct Tik{
	int c,p,a,b;
}t[MAXN];
int head[MAXN],tot;
struct{
	int v,to,w;
}e[5000005];
void addedge(int u,int v,int w){
	e[++tot]={v,head[u],w};
	head[u]=tot;
}
ll dis[MAXN],d[MAXN];
bool vis[MAXN];
priority_queue<pli>q;
void dijkstra(int s,bool sh=0){
	memset(vis,0,sizeof(bool)*(tn+k+5));
	if(!sh){
		memset(dis,0x3f,sizeof(ll)*(tn+k+5));
		dis[s]=0;
		q.emplace(0,s);
	}else{
		memcpy(dis,d,sizeof(ll)*(tn+k+5));
		for(int i=1;i<=tn+k;++i)
			q.emplace(-dis[i],i);
	}
	while(!q.empty()){
		int u=q.top().second;
		q.pop();
		if(vis[u]) continue;
		vis[u]=1;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].to)
			if(dis[e[i].v]>dis[u]+e[i].w){
				dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w;
				q.emplace(-dis[e[i].v],e[i].v);
			}
	}
}

#define lp p<<1
#define rp p<<1|1
struct{
	struct SegTree{
		int l,r,ls,rs;
	}st[MAXN];
	int build(int s,int t){
		if(s==t) return st[s]={s,t,0,0},s;
		int mid=(s+t)>>1,x=++tn;
		st[x]={s,t,build(s,mid),build(mid+1,t)};
		addedge(st[x].ls,x,0);
		addedge(st[x].rs,x,0);
		return x;
	}
	void update(int l,int r,int x,int p){
		if(l<=st[p].l&&st[p].r<=r) return addedge(p,x,0);
		int mid=(st[p].l+st[p].r)>>1;
		if(l<=mid) update(l,r,x,st[p].ls);
		if(mid<r) update(l,r,x,st[p].rs);
	}
}T;

int main(){
	n=tn=read(),k=read();
	int rt=T.build(1,n);
	for(int i=1;i<=k;++i){
		t[i]={read(),read(),read(),read()};
		addedge(tn+i,t[i].c,t[i].p);
		T.update(t[i].a,t[i].b,tn+i,rt);
	}
	dijkstra(1);
	memcpy(d,dis,sizeof(ll)*(tn+k+5));
	dijkstra(n);
	for(int i=1;i<=tn+k;++i) d[i]+=dis[i];
	dijkstra(1,1);
	for(int i=1;i<=n;++i) write(d[i]>=INF?-1:dis[i]);
	return fw,0;
}