4.组合数学总结2024-08-23

5.卡特兰数、Prufer 序列、BSGS 总结2024-08-23 6.概率和期望总结2024-08-23 7.基环树和笛卡尔树总结2024-11-24 8.拉格朗日插值学习笔记2024-11-27 9.虚树01-27 10.同余最短路01-21 11.CDQ 分治 && 整体二分01-20 12.点分治&&点分树01-15 13.差分约束 + 01BFS2024-11-29 14.二分图2024-10-23 15.网络流02-13 16.0/1 分数规划02-04 17.后缀数组02-23 18.Manacher02-23 19.回文自动机 PAM02-24

~~数学是毒瘤~~

组合数学总结。

如果说数论是数学的基础，那么组合数学往后就是高阶了。这之后的数学不再像数论那么板子，而是变得需要更多的推理和组合了。知识很简单，难的是应用。

~~本来还有什么容斥原理，看不懂，于是没放~~

初始化

为了方便快速求排列组合，我们需提前预处理阶乘和阶乘的乘法逆元。

令 $fac [i]$ 表示 $i$ 的阶乘， $inv [i]$ 表示 $i$ 的阶乘 的乘法逆元。

$inv [i]$ 是 $i$ 的阶乘 的乘法逆元，不是 $i$ 的乘法逆元！

2024/3/17 upd.

注意：若 $n$ 的规模超过 $10^{6}$ 级别，请勿预处理 $i n v [i]$ ，而是即时计算！

注意：若 $n$ 的规模超过 $10^{7}$ 级别，请线性求逆元！公式： $i n v [i] = i n v [i + 1] \times (i + 1) \mod MOD$ 。——2024/5/19 upd.

void init() {
	fac[0] = inv[0] = 1;
	for (int i = 1; i < MAXN; i++) {
		fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
		inv[i] = power(fac[i], MOD - 2, MOD);
	}
}

一般情况下，数论题都有一个 $MOD$ 值，否则可以传参 $p$ 表示模数。

排列数 $A_{n}^{m}$

排列数的计算公式如下：

A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!}

inline int A(int n, int m, int p) {
	if (n < m) return 0;
	return fac[n] * inv[n - m] % p;
}

组合数 $(\binom{n}{m})$

组合数的计算公式如下：

(\binom{n}{m}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}

inline int C(int n, int m, int p) {
	if (n < m) return 0;
	return fac[n] * inv[m] % p * inv[n - m] % p;
}

排列数和组合数都只需 $O (n)$ 的预处理便可 $O (1)$ 查询。

若需要即时求组合数，可以根据公式直接记忆化搜索：

int C(int n, int m) {
	if (m == 0 || m == n) return 1;
	if (cc[n][m] != 0) return cc[n][m];
	return cc[n][m] = C(n - 1, m) + C(n - 1, m - 1);
}

组合数性质

\begin{matrix} (1) & (\binom{n}{m}) = (\binom{n}{n - m}) \end{matrix}

相当于将选出的集合对全集取补集，故数值不变。（对称性）

\begin{matrix} (2) & (\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1}) \end{matrix}

由定义导出的递推式。

\begin{matrix} (3) & (\binom{n}{m}) = (\binom{n - 1}{m}) + (\binom{n - 1}{m - 1}) \end{matrix}

组合数的递推式（杨辉三角的公式表达）。我们可以利用这个式子，在 $O (n^{2})$ 的复杂度下推导组合数。

\begin{matrix} (4) & (\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + \dots + (\binom{n}{n}) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) = 2^{n} \end{matrix}

这是二项式定理的特殊情况。取 $a = b = 1$ 就得到上式。

\begin{matrix} (5) & \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) = [n = 0] \end{matrix}

二项式定理的另一种特殊情况，可取 $a = 1, b = - 1$ 。式子的特殊情况是取 $n = 0$ 时答案为 $1$ 。

\begin{matrix} (6) & \sum_{i = 0}^{m} (\binom{n}{i}) (\binom{m}{m - i}) = (\binom{m + n}{m}) (n \geq m) \end{matrix}

拆组合数的式子，在处理某些数据结构题时会用到。

\begin{matrix} (7) & \sum_{i = 0}^{n} {(\binom{n}{i})}^{2} = (\binom{2 n}{n}) \end{matrix}

这是 $(6)$ 的特殊情况，取 $n = m$ 即可。

\begin{matrix} (8) & \sum_{i = 0}^{n} i (\binom{n}{i}) = n 2^{n - 1} \end{matrix}

带权和的一个式子，通过对 $(3)$ 对应的多项式函数求导可以得证。

\begin{matrix} (9) & \sum_{i = 0}^{n} i^{2} (\binom{n}{i}) = n (n + 1) 2^{n - 2} \end{matrix}

与上式类似，可以通过对多项式函数求导证明。

\begin{matrix} (10) & \sum_{l = 0}^{n} (\binom{l}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1}) \end{matrix}

通过组合分析一一考虑 $S = a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n + 1}$ 的 $k + 1$ 子集数可以得证，在恒等式证明中比较常用。

\begin{matrix} (11) & (\binom{n}{r}) (\binom{r}{k}) = (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{r - k}) \end{matrix}

通过定义可以证明。

\begin{matrix} (12) & \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n - i}{i}) = F_{n + 1} \end{matrix}

Lucas 定理

当 $n, m$ 过大、超出数组的范围时，我们需要用 Lucas 定理求组合数。模数必须为质数。即对于质数 $p$ ，有：

(\binom{n}{m}) mod p = (\binom{n mod p}{m mod p}) (\binom{⌊ n / p ⌋}{⌊ m / p ⌋}) mod p

易知， $(\binom{n mod p}{m mod p})$ 的 $n, m$ 范围一定小于等于 $p$ ，可以直接求解； $(\binom{⌊ n / p ⌋}{⌊ m / p ⌋})$ 可以继续递归求解。当 $m = 0$ 时，返回 $1$ ，递归结束。

int lucas(int n, int m, int p) {
	if (m == 0) return 1;
	return C(n % p, m % p, p) * lucas(n / p, m / p, p) % p;
}

二项式反演

二项式反演用于解决“某个物品恰好若干个”这类计数问题。

直接摆公式。证明需要用到前文提到的组合数定理。

形式 1

$f_{n}$ 表示恰好 $n$ 个的方案数量， $g_{n}$ 表示至多 $n$ 个的方案数量，则：

g_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f_{i} ⟺ f_{n} = \sum_{i = 0}^{n} {(- 1)}^{n - i} (\binom{n}{i}) g_{i}

形式 2

$f_{k}$ 表示恰好 $k$ 个的方案数量， $g_{k}$ 表示至少 $k$ 个的方案数量，则：

g_{k} = \sum_{i = k}^{n} (\binom{i}{k}) f_{i} ⟺ f_{k} = \sum_{i = k}^{n} {(- 1)}^{i - k} (\binom{i}{k}) g_{i}

错排问题

D_{n} = (n - 1) (D_{n - 1} + D_{n - 2})

posted @ 2024-08-23 16:29 Laoshan_PLUS 阅读(44) 评论(0) 编辑收藏举报

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