数论总结

合集 - 学习笔记(20)

1.数论总结2024-08-19

2.平衡树总结2024-08-203.扫描线总结2024-08-244.组合数学总结2024-08-235.卡特兰数、Prufer 序列、BSGS 总结2024-08-236.概率和期望总结2024-08-237.基环树和笛卡尔树总结2024-11-248.拉格朗日插值学习笔记2024-11-279.虚树01-2710.同余最短路01-2111.CDQ 分治 && 整体二分01-2012.点分治&&点分树01-1513.差分约束 + 01BFS2024-11-2914.二分图2024-10-2315.网络流02-1316.0/1 分数规划02-0417.后缀数组 SA02-2318.Manacher02-2319.回文自动机 PAM02-2420.后缀自动机 SAM03-09

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数学是毒瘤

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基础数论总结。

数论题的代码都是一个个板子拼起来的，本博客只放板子。

声明：本博客中出现的所有代码，都视为加入了 #define int long long

数论题的特点

1. 题目大意简洁易懂。但有的题还是会古舟一堆

2. 码量小，全是板子

3. 极其难想，需要手推公式

4. long long 是标配

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筛法

筛法可以储存所有的质数，也可以 $O(1)$ 判断质数。

埃氏筛法

时间复杂度 $O(N\log \log N)$。

vector<int> pri;
bool is_prime[MAXN];

void primes(int n) {
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (is_prime[i]) continue;
		pri.push_back(i);
		for (int j = i; j <= n / i; j++) is_prime[i * j] = 1;
	}
}

线性筛法

线性筛法，也称欧拉筛法，时间复杂度 $O(N)$。

vector<int> pri;
bool is_prime[MAXN];

void primes(int n) {
	for (auto &x : is_prime) x = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (is_prime[i]) pri.push_back(i);
		for (auto j : pri) {
			if (i * j > n) break;
			is_prime[i * j] = 0;
			if (i % j == 0) break;
		}
	}
}

分解质因数

任何一个大于 $1$ 的正整数 $N$ 都能唯一分解为有限个质数的乘积，可写作：$N=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}\cdots p_m^{c_m}$。

其中 $c_i$ 都是正整数，$p_i$ 都是质数，且满足 $p_1<p_2<\cdots <p_m$。

算术基本定理的推论

$N$ 的正约数个数为：

$$(c_1+1)(c_2+1)\cdots (c_m+1)=\prod _{i=1}^m(c_i+1)$$

$N$ 的所有正约数的和为：

$$(1+p_1+p_1^2+\cdots +p_1^{c_1})\cdots (1+p_m+p_m^2+\cdots p_m^{c_m})=\prod _{i=1}^m\left(\sum _{j=0}^{c_i}{p}_i^j\right)$$

试除法分解质因数

int m, p[MAXN], c[MAXN];

void divide(int n) {
	m = 0;
	for (int i = 2; i * i <= n; i++)
		if (n % i == 0) {
			p[++m] = i, c[m] = 0;
			while (n % i == 0) {
				n /= i;
				c[m]++;
			}
		}
	if (n > 1) p[++m] = n, c[m] = 1;
}

最大公约数

欧几里得算法

即辗转相除法，时间复杂度 $O(\log N)$。

inline int gcd(int a, int b) {
	if (b == 0) return a;
	return gcd(b, a % b);
}

欧拉函数

定义

定义 $\phi (n)$ 表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。

例如 $\phi (1)=1$。

当 $n$ 是质数的时候，显然有 $\phi (n)=n-1$。

2024/7/11 upd. 欧拉函数的公式如下：（其中 $p_{1\dots m}$ 为 $x$ 的所有质因数）

$$\phi (n)=n\times \prod _{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})$$

单个数求欧拉函数

inline int euler_phi(int x) {
	int res = x;
	for (int i = 2; i * i <= x; i++)
		if (x % i == 0) {
			res = res / i * (i - 1);
			while (x % i == 0) x /= i;
		}
	if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
	return res;
}

筛法求欧拉函数

利用线性筛法可以快速求出多个数的欧拉函数值。

constexpr int MAXN = 5e6 + 5;
vector<int> prime;
int phi[MAXN];

void euler(int n) {
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!phi[i]) {
			prime.push_back(i);
			phi[i] = i - 1;
		}
		for (auto j : prime) {
			if (i * j > n) break;
			if (i % j != 0)
				phi[i * j] = phi[i] * phi[j];
			else {
				phi[i * j] = phi[i] * j;
				break;
			}
		}
	}
}

扩展欧拉定理

欧拉定理

若正整数 $a,n$ 互质，则 $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$。

欧拉定理的推论

若正整数 $a,n$ 互质，则对于任意正整数 $b$，有 $a^b\equiv a^{bmod\phi (n)}(\mathrm{mod}n)$。

当 $a,n$ 不一定互质且 $b>\phi (n)$ 时，有 $a^b\equiv a^{(bmod\phi (n))+\phi (n)}(\mathrm{mod}n)$。

扩展欧拉定理可用于解决大整数乘方取模问题。

扩展欧几里得

裴蜀定理

对于任意整数 $a,b$，存在一对整数 $x,y$，满足 $ax+by=gcd(a,b)$。

扩展欧几里得算法可以在求得 $gcd(a,b)$ 的前提下，求解形如 $ax+by=gcd(a,b)$ 的方程的解。

由于形如 $ax\equiv b(\mathrm{mod}p)$ 的线性同余方程可以改写为 $ax+pk=b$ 的形式，所以线性同余方程也可用扩展欧几里得求解。当然，由裴蜀定理，有整数解的充要条件为 $\mathbf{gcd}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{,}\mathit{p}\mathbf{)}\mathbf{\mid }\mathit{b}$。线性同余方程也可用逆元求解。计算 $a$ 的逆元，然后两边同除以 $a$ 的逆元可得到一个解。

扩展欧几里得算法同样可以求单个数的乘法逆元。

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (!b) return x = 1, y = 0, a;
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

乘法逆元

费马小定理

若 $p$ 是质数且 $a,p$ 互质，则 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

另一个形式：对于任意整数 $a$，有 $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$。

定义

如果一个线性同余方程 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}b)$，则 $x$ 称为 $amodb$ 的逆元，记作 $a^{-1}(\mathrm{mod}b)$。其实就是倒数

若 $\mathit{b}$ 是质数且 $\mathit{a}\mathbf{<}\mathit{b}$，由费马小定理，易得 ${\mathit{a}}^{\mathit{b}\mathbf{-}\mathbf{2}}$ 即为乘法逆元。

如果只是保证 $a,b$ 互质，则我们可以通过求解同余方程 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}b)$ 得到乘法逆元。

扩展欧几里得求单个数的乘法逆元

参见上文，不再赘述。

费马小定理求逆元

参见上文，代码如下：

inv[0] = 1;
for (int i = 1; i < MAXN; i++) inv[i] = power(i, MOD - 2, MOD);

时间复杂度 $O(N\log N)$，可以在数据规模不大于 ${10}^6$ 时求出逆元。

线性求逆元

P3811 乘法逆元

求 $1\dots n$ 中所有整数在模 $p$ 意义下的乘法逆元。

$1\le n\le 3\times {10}^6$，$n<p<20000528$，保证 $p$ 为质数。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

constexpr int MAXN = 3e6 + 5;
int n, p, inv[MAXN];

signed main() {
	cin >> n >> p;
	inv[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cout << inv[i] << '\n';
	
	return 0;
}

中国剩余定理

引入

「物不知数」问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

定义

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_1,n_2,\cdots ,n_k$ 两两互质）：

$$\{\begin{array}{ll}x& \equiv a_1(\mathrm{mod}{n}_1)\\ x& \equiv a_2(\mathrm{mod}{n}_2)\\ & ⋮\\ x& \equiv a_k(\mathrm{mod}{n}_k)\end{array}$$

上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。

过程

1. 计算所有模数的积 $n$；
2. 对于第 $i$ 个方程：
   • 计算 $m_i=n/n_i$；
   • 计算 $m_i$ 在模 $n_i$ 意义下的逆元 $m_i^{-1}$；
   • 计算 $c_i=m_i{m}_i^{-1}$（不要对 ${\mathit{n}}_{\mathit{i}}$ 取模）。
3. 方程组在模 $n$ 意义下的唯一解为：$x=\sum _{i=1}^k{a}_i{c}_i(\mathrm{mod}n)$。

实现

int crt(int k, int r[], int a[]) {
	int n = 1, ans = 0;
	for (int i = 1; i <= k; i++) n *= r[i];
	for (int i = 1; i <= k; i++) {
		int m = n / r[i], b, y;
		exgcd(m, r[i], b, y);
		ans = (ans + a[i] * m * b % n) % n;
	}
	return (ans % n + n) % n;
}

扩展中国剩余定理（exCRT）

$n_1,n_2,\dots ,n_k$ 不互质怎么办呢？

先考虑只有两个方程的情况，设两个方程分别是 $x\equiv a_1(\mathrm{mod}{n}_1)$ 和 $x\equiv a_2(\mathrm{mod}{n}_2)$。

将它们转化为不定方程：$x=n_{1}p+a_1=n_{2}q+a_2$，其中 $p,q\in \mathbf{Z}$，则有 $n_{1}p-n_{2}q=a_2-a_1$。

由裴蜀定理，当 $a_2-a_1$ 不能被 $gcd(n_1,n_2)$ 整除时，无解。否则可以扩欧算出一组解 $(p,q)$。

则原来的两方程组成的模方程组的解为 $x\equiv b(\mathrm{mod}M)$，其中 $b=n_{1}p+a_1$，$M=\mathrm{lcm}(n_1,n_2)$。

那么多个方程呢？只需用上面的方法两两合并即可。

int excrt() {
	int x, y;
	int M = bi[1], ans = ai[1];
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		int a = M, b = bi[i], c = (ai[i] - ans % b + b) % b;
		int gcd = exgcd(a, b, x, y), bg = b / gcd;
		if (c % gcd != 0) return -1;
		x = mul(x, c / gcd, bg);
		ans += x * M;
		M *= bg;
		ans = (ans % M + M) % M;
	}
	return (ans % M + M) % M;
}

注意里面需要用到龟速乘。不过我直接 __int128。