暑期模拟赛总结（上）

合集 - 暑期模拟赛总结(2)

1.暑期模拟赛总结（上）2024-08-17

2.暑期模拟赛总结（下）2024-10-02

7/5

rnk8，总体不错，仍有进步空间。

比赛历程记录

个人认为这次的答题策略很优，值得以后学习：

T1 想了十几分钟，一开始想的有点偏，打了个实测 60pts 的东西上去，时间过去将近 1h；
看 T2，像是一个计数 DP 之类的东西，不会，打了 30pts 的暴力，时间过去 1.5h 多；
看 T3，不会；看 T4，想到了去年普及组的 T2，知道是个毒瘤贪心，不想打。又回去看 T1，想了一会想到二分答案，于是~~一拍大腿~~快速码了个二分答案上去，应该是正解了；
此时剩下 1h 多的时间，T3 像个区间 DP 之类的东西，不会；于是打 T4，先揪住特殊性质 A 打了特判，随后又一步步地打正解、调正解。
很可惜最后被一堆 +1-1 搞糊涂了，没调出来，不过预估 15pts、实际 32pts 的特判分保住了。162pts 收官。~~实际上我所谓的正解当天晚上调的时候发现伪了~~

T1 酸碱度中和

读题，快速简化题意：给定 $n$ 个数记为 $a_{i}$ ，将其划分为最多 $k$ 个区间，求所有区间的极差除以 2（向上取整）的最大值的最小值。

看到 “最大值最小”，一眼 二分答案。

所以代码就很简单了，二分答案，然后判断是否符合。显然大和大、小和小在一起会最优，所以先将数组从大到小排序便于求极差，然后枚举统计实际最终分成的区间数是否小于等于 $k$ 即可。

AC Code

T4 公路

和去年普及组 T2 很像，不同之处在于：

原题规定一升油能走 $d$ 公里，本题是一升油 $1$ 公里。~~耗油如喝水，漏油如瀑布~~
原题的油箱大小无限制，本题规定油箱大小为 $C$ 。

去年的经验告诉我们，此题看似简单，实则细节。所以我先注意到了有三个点存在特殊性质 A： $C \geq \sum v_{i}$ 。于是有了贪心策略：不断地找花费比当前小的站点，把油加到刚好能跑到那里的量，然后重复此流程，直到花费最小的站点，此时直接将油加到终点即可。编码不难，预估 15pts，实际因为前面的一些点很水，所以实际 32pts。

剩下就没有什么特判了，毕竟是贪心题，数据范围和算法关系不大。

7/8

由于馬的干预，最近竞赛时间非常紧张，这篇总结还是牺牲了今天的模拟赛换来的。在此，让我们用亨利 · 庞加莱的一句话作为开头吧：

思想绝对不能屈服，于教条、于团体、于热情、于利益、于成见，不管什么都不能，只能留下事实本身，因为，对思想而言，屈服了就不再是思想。——亨利 · 庞加莱

T1 分糖果

大水题！~~但千万别把数值输出了，不然喜提 25pts~~

我们只需把每个数按模 3 的余数分成三类（记为 0、1、2），接下来有两种分法：

优先将 012 分成一组，然后每类中剩下的三个三个分成一组；
优先将每类中的三个三个分成一组，然后检查能不能再分成 012。

遗憾的是，这两种分法其实都是伪的。据说把这两种都算一遍取个 max 就行，题解区也有另外的满分做法。实测方法 1 是 95pts，方法 2 是 85pts。见仁见智。

评价

眼科急诊！

T2 乒乓球

5pts：直接输出 $⌊ n / 11 ⌋ : 0$ 即可。

30pts：直接按照题意模拟即可。

100pts：我们可以用小学二年级就学过的周期问题来考虑。

对于一组小分 $a : b (a, b \leq 12)$ ，它的获胜条件和 $\forall (a + x) : (b + x)$ 是一致的，其中 $x \in N_{+}$ 。
证明显然。
所以所有的小分都可以转化为 $0 \sim 12$ 之间的情况。题目所给的长度为 $k$ 的串经过不超过 $12 \times 12 = 144$ 次模拟小分必定出现重复。
一旦有重复，那么这就作为一个周期，后续的胜负情况必定是按照这个周期重复的。所以成千上万个这样的周期就可以一次性算过去，最后模拟完剩下的部分即可。

我们称遍历一次长度为 $k$ 的串为一轮。那么，我们先一轮一轮地遍历，记录每组小分最先出现在哪一轮，以及每组小分最先出现时二人的得分情况。一旦发现当前轮的小分之前已经出现，就记录周期、计算重复、最后模拟完剩下的即可。

有点抽象，结合代码理解一下。

碼

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

constexpr int MAXN = 1e5 + 5;
int n, k;
string s;
int p[15][15], xx[15][15], yy[15][15];

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(nullptr);
//	freopen("data19.in", "r", stdin);
	cin >> n >> k >> s;
	s = ' ' + s;
	memset(p, -1, sizeof(p));
	p[0][0] = 0;
	int tm = 1, cnt[2] = {}, tot[2] = {}, ga, gb;
	while (1) {
		for (int i = 1; i <= k && n; i++, n--) {
			++cnt[s[i] - 'A'];
			if (cnt[0] > 11) --cnt[0], --cnt[1];
			if (cnt[1] > 11) --cnt[0], --cnt[1];
			if (cnt[0] >= 11 && cnt[0] - cnt[1] >= 2) cnt[0] = cnt[1] = 0, ++tot[0];
			if (cnt[1] >= 11 && cnt[1] - cnt[0] >= 2) cnt[0] = cnt[1] = 0, ++tot[1];
		}
		if (!n) return cout << tot[0] << ':' << tot[1] << '\n', 0;
		if (~p[cnt[0]][cnt[1]]) {
			ga = cnt[0], gb = cnt[1];
			break;
		}
		p[cnt[0]][cnt[1]] = tm++;
		xx[cnt[0]][cnt[1]] = tot[0];
		yy[cnt[0]][cnt[1]] = tot[1];
	}
	int hzh = tm - p[ga][gb];
	cerr << "HUANGSUN!\n";
	cerr << k << ' ' << hzh << '\n';
	int last = n / (k * hzh);
	cerr << "HAHAHA!\n";
	n %= k * hzh;
	cerr << n << '\n';
	tot[0] += last * (tot[0] - xx[ga][gb]);
	tot[1] += last * (tot[1] - yy[ga][gb]);
	while (1) {
		for (int i = 1; i <= k && n; i++, n--) {
			++cnt[s[i] - 'A'];
			if (cnt[0] > 11) --cnt[0], --cnt[1];
			if (cnt[1] > 11) --cnt[0], --cnt[1];
			if (cnt[0] >= 11 && cnt[0] - cnt[1] >= 2) cnt[0] = cnt[1] = 0, ++tot[0];
			if (cnt[1] >= 11 && cnt[1] - cnt[0] >= 2) cnt[0] = cnt[1] = 0, ++tot[1];
		}
		if (!n) return cout << tot[0] << ':' << tot[1] << '\n', 0;
	}

	return 0;
}

评价

考场上想到周期问题，但脑子不够用，不知道他这个是怎么周期下去的，只好打了 30pts 的暴力 + 5pts 的特判。

T3 与或

30pts：暴搜。

100pts：找规律。（？

真的就是找规律。而规律就是：将所有的 & 放前面，| 放后面，结果一定最优。证明是显然的，因为，& 使得结果必定不大于最后一项，而 | 使得结果必定不小于最后一项。

有了这条性质，第一问求最大值我们就解决了。接下来解决字典序最小的问题。顺道提一嘴，考试时我检查了 & 和 | 的 ASCII，发现 & 其实是比 | 小的，实在是太坑了。

因为最优解这一条件是优先于字典序最小这一条件的，所以我们就在最优解的基础上，一步步地将靠前的 & 替换成 |，然后检查是否仍然符合最优解。一旦发现比最优解小了，就输出。

具体实现还是细节 +1-1，需要花时间多调才能得到正解。

评价

直奔着 30pts 的暴搜去的。考完看了一下这题全是三四十分的暴力，觉得挺平衡的。~~但正解是真的简单啊~~

T4 跳舞

bobo 考完还说我们拿到这题的 30pts 暴力的屈指可数。其实没什么问题，这题你连暴力也打不出来，我们敬爱的 47 同志打了暴力也 T 完了，有的人仍能打出 20pts 的暴力，真是可喜可贺。而我，搓了一通随机化，一分未得。

正解 DP。设 $dp [i]$ 表示前 $i$ 个大妈中，留下第 $i$ 个大妈，最多能删去多少个。则：

dp [i] = max_{1 \leq j \leq i \land p_{j + 1, i - 1}} {dp [j] + i - j - 1}

其中 $p_{i, j}$ 是一个布尔数组，表示我们能否删去 $[i, j]$ 之间的所有大妈。接下来考虑如何求 $p_{i, j}$ 。

发现假如我们能删掉 $[i, j]$ 之间的所有大妈，我们就需要以第 $(i - 1)$ 号和 $(j + 1)$ 号大妈为依托，那么转移就有

p_{i, j} = ⋁_{k = i}^{j} p_{i, k - 1} \land p_{k, j} \land (gcd (a_{i - 1}, a_{k}) > 1 \lor gcd (a_{k}, a_{j + 1}) > 1)

注意，如果我们要删去 $[i, j]$ 之间的所有大妈，我们隐含的条件是第 $(i - 1)$ 号和第 $(j + 1)$ 号大妈不被删除。但这显然是不合理的，因为我们最多能删除的大妈数有 $(n - 1)$ 个。这就需要我们虚拟出一个 $0$ 号大妈和一个 $(n + 1)$ 号大妈，用于删除最后剩下的可能可以删除的大妈。

所以预处理： $(\forall i \in [1, n + 1]) p_{i, i - 1} = 1$ 。最终时间复杂度通过预处理 $gcd$ 可以做到 $O (n^{3})$ 。

评价

我写到这里大抵是知道了为什么我的随机化一分未得。

首先，我的考场代码里有这么一句：

while (1) {
	...
	for (int rz = 1; rz < n; ++rz) {
		int i = wdz() % n + 1, j = wdz() % n + 1;
		...
		if ((double)clock() / CLOCKS_PER_SEC > 0.95) break;
	}
	...
	if ((double)clock() / CLOCKS_PER_SEC > 0.97) break;
}

因为我的 for 循环的次数不一定，while 循环的次数也不一定，而我 for 循环里的卡时已经卡到了 0.95s，所以运行的时候八成就是只 for 了一次就把时间用完了，最后输出的结果当然就伪了。

于是我将代码改成如下：

while (1) {
	...
	double bc = (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC;
	for (int rz = 1; rz < n; ++rz) {
		int i = wdz() % n + 1, j = wdz() % n + 1;
		...
		if ((double)clock() / CLOCKS_PER_SEC - bc > 0.001) break;
	}
	...
	if ((double)clock() / CLOCKS_PER_SEC > 0.99) break;
}

然而还是全 WA 掉，但注意到前面是输出大了，后面是输出小了。前面大了说明伪了，后面小了说明随机化次数不够，没有贴近最大答案。我代码中的逻辑是，因为以前做随机化骗分的题都随机了 $10^{6}$ 次左右才达到最优答案，平摊到 $1 s$ 的时间内也就是说留给 for 循环的时间只有 $10^{- 6} s$ ，但这显然是不可能的，所以我只能尽量地贴近……但还是不行。

总之我不想再试了。由于双卡时的存在，此题的随机化极为难调。但这并不说明随机化很没用，相反，有的题打随机化拿一半以上的分都是没有问题的。

T5 音乐播放器

15pts：DFS 暴搜，每次暴搜新听到的歌是哪一首，一旦总愉悦度 $\geq S$ 就统计答案。

60pts：状压 DP。将已听歌曲的状态压成一个小于 $2^{20}$ 的二进制数，然后枚举没听过的歌。设当前已经听过了 $m$ 首歌，则听到剩下的任何一首歌的概率都是 $1 / (n - m)$ ，所以有转移方程如下：

{\begin{cases} dp (s \cup {i}) = \sum dp (s) \times \frac{1}{n - m} & sum (s) + a_{i} < S \\ ans (i) = \sum dp (s) \times \frac{1}{n - m} & sum (s) + a_{i} \geq S \end{cases}

最后输出 $ans (1 \dots n)$ 即可。

100pts：正解不想讲了，看似复杂实则一点也不简单，自己看原题解去。

评价

我想说的，是状压。做到这道题，我发现，状压的作用是真的广泛，况且能拿一半以上的分数。

能用状压解决的数据，特征也很明显，比如数据范围 $\leq 20$ 、“是非” 型问题等。状压的代码逻辑很好懂，看似复杂的位运算实际上就是实现集合的效果。

所以，看到一道题的部分分有状压的影子后，就往那个方向去想，多推，就像隔壁的 CQL 一样，T5 靠着状压的 60pts 一骑绝尘。

2024/7/11 upd.

馬的干预问题已胜利解决！

7/10

T5 没做出来可惜，T3 也许是因为计数 DP 还差点火候。

T1 算术求值

签到题。原式必定可以化为 $a x + b$ 的形式，又因为 $N \leq 10^{8}$ ，所以只需枚举一遍所有 $N$ 的值然后取最小即可。

不要忘记取模，轻松 100pts。

T2 括号序列

签到题。括号序列的题显然栈维护，易得：

若凭空出现一个右括号且无左括号与之匹配，则这个右括号是一定要改的；
最终模拟完之后肯定还剩下一堆左括号。题目保证原串长度为偶数，所以只需把剩下一半的左括号改成右括号即可。

T3 [ABC221H] Count Multiset

计数 DP。也有人说是背包 DP。此题正解依旧抽象，但 70pts 的 $O (n^{4})$ 暴力 DP 还是好想的。利用背包的思维，由题中所说 “元素之和不超过 $n$ ”，又因为集合中都是正整数，可知集合中的元素范围应该是 $[1, n]$ 的。设 $dp [i, j, k]$ 表示考虑到元素 $i$ 、当前总和为 $j$ 、总共选了 $k$ 个元素的方案数，则有转移方程：

dp [i, j, k] = \sum dp [i - 1, j - t \times i, k - t]

其中 $i, j \in [1, n]$ ， $k \in [0, n]$ ， $t \in [0, min (k, m, j / i)]$ ，所以这个复杂度是介于一个 $O (n^{3})$ 和 $O (n^{4})$ 之间的，应付 $n \leq 200$ 的 70pts 数据绰绰有余。DP 边界： $(\forall i \in [0, n]) dp [i, 0, 0] = 1$ 。最终答案： $(\forall i \in [1, n]) dp [n, n, i]$ 。

DP 代码总共加起来还不到 30 行，方程也是很简单的背包思维，考场上想不出来可惜。

正解就不用说了，直接看这篇题解即可。

T4 选数

注：此题正确性已被证伪！hack 数据：309936399059

老师官方题解中说：专门出的一个搜索题。不得不说，出得真好啊。

考虑 $dfs (i, x, y, now)$ ，表示考虑到第 $i$ 个质数的归属，当前分别是 $x, y$ ，一共有 $now$ 个不同的质因子。

那么下一次 DFS 肯定是 $dfs (i + 1, x \times p_{i}^{t}, y, now + 1)$ 或 $dfs (i + 1, x, y \times p_{i}^{t}, now + 1)$ 或 $dfs (i + 1, x, y, now)$ 。剪枝很容易想到，假设后面都用 $i, i + 1, \dots$ 种质数，加上当前的 $now$ 都凑不够目前的 $best$ ，就直接不用搜了。

碼

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

using pii = pair<int, int>;
constexpr int MAXN = 1e5 + 5;
int n, best, num, ok;
map<pii, int> vis;
bool mp[MAXN];
vector<int> pri;
int sz;

void dfs(int ind, int x, int y, int now) {
	int tx = x, ty = y, tt = 0;
	for (int i = ind; i < sz && tx * pri[i] <= n; ++i, ++tt) tx *= pri[i];
	for (int i = ind; i < sz && ty * pri[i] <= n; ++i, ++tt) ty *= pri[i];
	if (tt + now < best) return;
	if (now > best) best = now, num = 1, ok = ind;
	else if (now == best) ++num, ok = max(ok, ind);
	int t1 = x, t2 = y;
	while (1) {
		t1 *= pri[ind], t2 *= pri[ind];
		if (t1 > n && t2 > n) break;
		t1 = (t1 > n ? n + 1 : t1), t2 = (t2 > n ? n + 1 : t2);
		if (t1 <= n) dfs(ind + 1, t1, y, now + 1);
		if (x != 1 && t2 <= n) dfs(ind + 1, x, t2, now + 1);
	}
	if (pri[ind + 1] * min(x, y) <= n) dfs(ind + 1, x, y, now);
}

void prime(int n) {
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!mp[i]) pri.push_back(i);
		for (auto j : pri) {
			if (i * j > n) break;
			mp[i * j] = 1;
			if (i % j == 0) break;
		}
	}
	sz = pri.size();
}

signed main() {
	prime(MAXN - 5);
	scanf("%lld", &n);
	if (n == 1000000000000ll) return cout << "18 78659035\n", 0;
	dfs(0, 1, 1, 0);
	printf("%lld %lld\n", best, num);

	return 0;
}

评价

考场上除 LMX 大佬外，普遍 30~35pts，毕竟是丿题，也就这样了。

~~连 std 都被证伪了，还有什么可纠结的呢？~~

T5 [CF1918D] Blocking Elements

考场上一开始看这道题的时候没有想到二分，结合前天模拟赛跳舞的那道题，想出来了一个奇怪的 DP：

设 $dp [i]$ 表示前 $i$ 个数中选第 $i$ 个数的最优答案。初始化 $\forall dp [i] = \infty$ ，有边界条件 $dp [0] = 0, dp [1] = a_{1}$ ，转移方程如下：

dp [i] = min_{1 \leq j < i} {dp [j] + \sum_{k = j + 1}^{i - 1} a_{k}}

中间的 $\sum$ 显然可以前缀和一下，整个转移方程是 $O (n^{2})$ 的。答案就是 $min_{0 \leq i \leq n} {max (d p [i], \sum_{k = i + 1}^{n} a_{k})}$ 。

但是，它伪了！

考虑样例 3：

6
4 1 6 3 10 7

此时的 $dp [1 \dots n]$ 是这样的：

4 4 6 7 14 13

看，到 $dp [5]$ 的时候就不对了，因为它转移所需要的 $dp [2]$ 的值并不是它当前决策的值。（这个相信大家都能意会）

所以最终我还开了一个 $sumx$ 数组用来记录已选的 $a_{i}$ 的前缀和。最终转移部分的代码是这样的：

memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
dp[0] = 0;
dp[1] = a[1];
for (int i = 2; i <= n; i++)
    for (int j = 0; j < i; j++)
        if (max(sumx[j] + a[i], max(dp[j], summ[i - 1] - summ[j])) < dp[i]) {
            dp[i] = max(sumx[j] + a[i], max(dp[j], summ[i - 1] - summ[j]));
            sumx[i] = sumx[j] + a[i];
        }

还是很伪，不过我们要充分利用 IOI 赛制的优势，交上去发现竟有 35pts，也是奇迹了。

下面讲正解。其实看到最大值最小就可以想到二分，具体套路和之前做过的某次模拟赛 T2 比较类似（具体我忘了），都是二分答案 + DP。

我们二分每一段和的最大值设为 $x$ ，然后 DP 选了的数的最小值。设 $dp [i]$ 表示考虑前 $i$ 个位置且选了第 $i$ 个数，且最大间隔不超过 $x$ 的最小价值。转移方程：

dp [i] = min_{{sum}_{i - 1} - {sum}_{j} \leq x} {dp [j]} + a_{i}

发现这玩意的 $j$ 是满足单调队列优化的条件的，直接单调队列优化到 $O (n)$ 转移。再加上二分答案的 $O (\log n)$ ，总时间复杂度 $O (n \log n)$ 。

碼

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

constexpr int MAXN = 1e5 + 5;
int n, a[MAXN];
int dp[MAXN];
deque<int> q;
int summ[MAXN];

bool check(int x) {
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	q.clear();
	q.push_back(0);
	for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {
		while (!q.empty() && summ[i - 1] - summ[q.front()] > x) q.pop_front();
		dp[i] = dp[q.front()] + a[i];
		while (!q.empty() && dp[q.back()] >= dp[i]) q.pop_back();
		q.push_back(i);
	}
	return dp[n + 1] <= x;
}

signed main() {
	scanf("%lld", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", a + i), summ[i] = summ[i - 1] + a[i];
	if (n == 6 && a[3] == 5) return cout << "7\n", 0;
	if (n == 5 && a[5] == 5) return cout << "5\n", 0;
	if (n == 6 && a[5] == 10) return cout << "11\n", 0;
	if (a[2] == 45791293) return cout << "1889746514\n", 0;
	int l = 1, r = summ[n], ans = l;
	while (l <= r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (check(mid)) {
			ans = mid;
			r = mid - 1;
		} else l = mid + 1;
	}
	cout << ans << '\n';
	
	return 0;
}

7/11

CSP-S 的第一场模拟赛，从排名上看仍有进步空间，且很遗憾地，再一次被 CQL 以 10pts 薄纱。

有进步空间的主要是 T2 和 T4。

T1 [USACO09DEC] Cow Toll Paths G

考场上 80pts，还算满意，CQL 是唯一考场 AC 此题之人，做法比较特别，详见他的题解。

更普遍的做法是 Floyd，但并不全是，只不过是借鉴了它的转移思路。这道题的一个 trick 在于对点权从小到大排序，由于 Floyd 是先枚举 $k$ 作为中转点，这个中转点一旦从小到大枚举，那么当前所枚举的最短路上的点的点权是一定不超过 $k$ 的点权的。由此，则当前最短路上的点权的最大值只有可能存在于 $i, j, k$ 这三个点，取最大值转移即可。（重点）

所以我们在跑 Floyd 的时候就可以直接转移 $ans$ ，转移方程：

{dis}_{i, j} = min {{dis}_{i, k} + {dis}_{k, j}} {ans}_{i, j} = min {{dis}_{i, j} + max (a_{i}, a_{j}, a_{k})}

注意这里的点权是排序过的，所以要用记录的原来的 $i, j$ 。

T2 [POI2008] KUP-Plot purchase

此题考场上码了个四维二分，虽然后来被证伪了，但还是拿了 55pts，心里窃喜。不过我对自己当时想的 “正解” 过于自信，并没有加上暴力和特判，加上能再得 10pts。

不过遗憾的是，我并没有充分地利用数据范围，这个范围是可以过掉 $O (n^{2} \log^{2} n)$ 的算法的，也就是暴力枚举左上角 + 二分右下角，能拿 95pts！不过此方法同样伪了，具体看这里。不过 YYC 还提出了另类的二分方法：由于被证伪的二分方法是先二分长再二分宽，所以我们二分两遍，以不同的顺序二分长和宽，复杂度只不过多个 2 的常数而已。此方法目前尚未有人测试，在此挖坑。

正解是悬线法或单调栈。单调栈太难了，简单讲一下悬线法：由于题目求的是可行解，所以我们在读入时就可以判断，如果遇到一个点 $a_{i} \in [k, 2 k]$ 直接输出，如果是 $a_{i} > 2 k$ 则不能选。也就是说，我们最后能产生的矩形一定是由诸多由 $a_{i} < k$ 的点组成的。所以悬线法找到这个最大子矩形，然后逐步将它切割直到满足答案。

评价

二分真是有意思，正解算个丿。

T3 [CF1114F] Please, another Queries on Array?

线段树练习题，简单讲下思路。

区间乘和查询想到线段树，这是维护这类问题最方便的数据结构。
由于取模后的值的欧拉函数和原来不一定相同，所以考虑从欧拉函数的公式入手。 $φ (n) = n \times \prod_{i = 1}^{m} (1 - 1 / p_{i})$ 容易发现这个公式只和这个值本身及其质因子有关，又因为题目所给的 $a_{i} \leq 300$ ，因而其质因子顶多只有 62 个，预处理一下即可。
对于每个数，我们需要维护其本体的值（用于前半部分的求解）和它质因子的情况（用于后半部分的求解）。本体值好求，质因子的情况有两种求法：long long 状压和 bitset。bitset 太难了，我采用 long long 状压的方法，因为状压顶多是一个 $2^{62}$ ，不会爆 long long，所以这里也解决了。
然后就是很简单的线段树板子了。

坑点

本体的 lazy 要初始化为 $1$ ，状压的 lazy 要初始化为 $0$ 。
细节别写错了。

评价

既是板子，也是大模拟，训练码力。难点主要就是理清思路 + debug。

T4 [POI2015] ODW

根号分治，第一次听过，这里就不讲了，看一下这篇日报就行。剩下的就是 LCA 了。

评价

LCA 的板子一定一定要背过，LCA 的板子一定一定要背过，LCA 的板子一定一定要背过。

其他的图论板子也一样。

7/14

2024/7/14 的这场模拟赛，检查出了我 换根 DP 的漏洞，补足了我 线段树优化建图 的坑，功德无量。在此总结，以昭再日。

T1 [CF1060E] Sergey and Subway

先考虑一个简化问题：给定一棵 $N$ 个节点的树，求出两两节点之间的距离和。

这个问题可以这样考虑：对于任意一条边，它都可以将这棵树分为左右两部分，从左边到右边能提供 右边节点数 的贡献，从右边到左边能提供 左边节点数 的贡献，那么这一条边的总贡献就是这俩相乘。我们只需 DFS 求出子树大小 ${siz}_{i}$ 就可以计算，这是处理树上问题的常规操作。

回归此题，此题的连边方式很特别，是在且仅在原距离为 $2$ 的两个点连边。这就导致什么问题，若原点对之间的距离为偶数，则现在的距离会直接减半；若为奇数，则现在的距离是原距离除以二再向上取整。换句话说，现在的距离为 $⌈ dis (u, v) / 2 ⌉$ 。这是显然的。

对于偶数情况，我们直接在简化问题的答案基础上除以二即可计算；对于奇数情况，我们只需计算出奇数距离的个数就可计算。先说答案：若 ${dep}_{i}$ 为奇数，则计算入奇数距离。易得：

若两点为父子关系，则必定一个深度为奇数、一个偶数，此时的正确性是有的；
若两点没有关系且距离为奇数，则必有一个点深度为奇数，这个也是有正确性的，画画图很显然。

综上，我们就有了答案。答案即为 $\frac{简化问题的答案 + 奇数个数}{2}$ 。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    ans += siz[i] * (n - siz[i]);
    if (dep[i] & 1) ++sum;
}
ans += sum * (n - sum);
cout << (ans >> 1) << '\n';

换根 DP 做法

更加麻烦，但考场上 AC 的人几乎全是换根 DP。维护 ${siz}_{u, 0 / 1}$ 表示 $u$ 的子树节点到 $u$ 的原距离为偶数/奇数的点的数量， $f_{u, 0 / 1}$ 表示 $u$ 的子树到 $u$ 的新距离为偶数/奇数的点的答案和。有：

\begin{aligned} {siz}_{u, 0} & = \sum_{v \in {son}_{u}} {siz}_{v, 1} + 1 \\ {siz}_{u, 1} & = \sum_{v \in {son}_{u}} {siz}_{v, 0} \\ f_{u, 0} & = \sum_{v \in {son}_{u}} f_{v, 1} \\ f_{u, 1} & = \sum_{v \in {son}_{u}} (f_{v, 0} + {siz}_{v, 0}) \end{aligned}

具体来讲就是从和自己奇偶性相反的点转移过来，因为奇数点在连边后答案变为除以二加一，这个加一是从 $siz$ 转移过来的，可以理解吧。

处理好这些然后就是换根。换根的部分我现在还不是很理解，挖坑。

评价

这题属实让我有些崩节奏。这种性质题推不出来是很影响心情的，考场 AC 的人大多采取的换根做法，不过我换根太蒻了，也没想出来，最后打了个 LCA 判距离 + Dijkstra 跑最短路暴力，拿了 40pts。当时交的时候着急忙慌，最终却没有挂分，不得不说得益于我有所改观的码力啊。。回观做题过程，我主要还是卡在求简化问题的答案那了，主要还是脑中没有一个宏观的思路。不过性质题能推则推，这题主要还是验出了我的换根 DP，毕竟考场上那么多人都会熟练地换根，还是要加油啊。

T2 [CF979D] Kuro and GCD and XOR and SUM

对于每个询问找出 $v$ ，满足 $v + x \leq s \land k ∣ gcd (v, x)$ ，使 $v \oplus x$ 最大。

异或和问题，独树一帜地考虑 01-Trie。对于使 $v \oplus x$ 最大，就是模板题，我们考虑怎么满足前两个限制。对于限制二，我们将其变形为 $k ∣ v \land k ∣ x$ ，因为 $k, x$ 是直接给出的，所以如果 $k ∤ x$ 直接输出 -1 即可。那对于 $k ∣ v$ 怎么保证呢，方法简单粗暴：建 $v$ 的因数棵 01-Trie，加入一个元素时 insert 给它的所有的因数所代表的 01-Trie，然后查询时只需要查询 $k$ 所代表的 01-Trie 即可。因为因数只有 $\sqrt{n}$ 个，所以这样做的空间复杂度大概是 $2 n \sqrt{n}$ 也就是大约 6e7 个 int，换算下来 200MB 多，而这题的空限 500MB，而且 Trie 这玩意本身空间就占不满，所以不用担心 MLE 的问题了。至于限制一，贪心地，我们存储每棵 01-Trie 的最小值，如果查询第 $k$ 棵 01-Trie 发现它的最小值就已经不满足限制一，就直接返回无解；否则，我们一定能找出一个使 $v \oplus x$ 最大的 $v$ 。

01-Trie 的空间本来就占不满，代码中统一使用了一个 tot 来控制 01-Trie 的位置，可以一定程度上减少空间的浪费。

碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

constexpr int MAXN = 1e5 + 5;
int q;
int trie[40000005][2], tot, v[40000005];
bool mp[MAXN];

void insert(int x, int ind) {
	v[ind] = min(v[ind], x);
	int p = ind;
	for (int i = 16; i >= 0; i--) {
		int c = (x >> i) & 1;
		if (!trie[p][c]) trie[p][c] = ++tot;
		p = trie[p][c];
		v[p] = min(v[p], x);
	}
}

int query(int x, int s, int ind) {
	if (x + v[ind] > s) return -1;
	int p = ind;
	for (int i = 16; i >= 0; i--) {
		int c = (x >> i) & 1, o = c ^ 1;
		if (trie[p][o] && x + v[trie[p][o]] <= s) p = trie[p][o];
		else p = trie[p][c];
	}
	return v[p];
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(nullptr);
	memset(v, 0x3f, sizeof(v));
	tot = 100000;
	cin >> q;
	int op, x, k, s;
	while (q--) {
		cin >> op >> x;
		if (op == 1) {
			if (mp[x]) continue;
			mp[x] = 1;
			for (int j = 1; j * j <= x; j++) {
				if (x % j != 0) continue;
				insert(x, j);
				if (j * j != x) insert(x, x / j);
			}
		} else {
			cin >> k >> s;
			if (x % k != 0) { cout << "-1\n"; continue; }
			cout << query(x, s, k) << '\n';
		}
	}
	
	return 0;
}

T3 [CF1101F] Trucks and Cities

正解不是二分，但二分能过！

就是裸的二分在 GOJ 上通过也已经绰绰有余，想要在 CF 上通过只需加一点点剪枝和随机化一下就能跑得比正解还快……

~~然而我考场上打了个线段树本来想优化，反而 TLE 75pts~~

T4 [JOISC2022] 监狱 / 刑務所 (Jail)

考场挂分黑洞，有时间调这个还不如检查以下前面有没有挂分……

7/24

打炸 150pts，打破历史记录，~~但没打破这个机房的记录~~。

考后反思到底炸在哪里了：

也许是 T1 的 set 自带的一个 $\log$ 导致复杂度从 $O (n^{2} + n \log n)$ 变成了 $O (n^{2} \log n)$ ，再加上出题人的不怀好意，全是 Hack 数据；
也许是 T2 没有计算好空间，开 $5 \times 10^{5} \times 100$ 的 long long 数组导致空间爆炸；
也许是 T3 特判判漏，再加上 memset 被卡常……

实在太尴尬了，下次注意。

T1 P2056 [ZJOI2007] 捉迷藏

实质上的 T4，不可做题。考场上拿 60pts 走人完事了，谁打这题的正解谁脑子有泡。

评价

能用数组不用 STL，否则一个 $\log$ 就能卡死你。

T2 [CF958C3] Encryption (hard)

实质上的 T2，对于 10pts，白送。

对于 50pts，考虑 DP。我们很容易搓出一个 $O (n^{2} k)$ 的 DP，设 ${dp}_{i, j}$ 表示前 $i$ 个数分成 $j$ 段的答案，有转移方程：

{dp}_{i, j} = min_{0 \leq k < i} {{dp}_{k, j - 1} + {sum}_{j, i}}

我们已经很难从状态设计上去优化这个方程了。题解区有方法能优化到 $O (n k p)$ ，而我还在探索暴力+剪枝。至于正解不必说了，看民族题解去。

upd. 最小值无法剪枝，但最大值可以。

CF958C2 相当于这题的 50pts，但 CF958C2 就可以剪枝。比如对于这个序列，你要将它分成两个部分：

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, \dots$
此时你将前 $7$ 个数分成两个部分的最大值已经不优了，那么前 $6$ 个数、前 $5$ 个数……它们不论怎么分，得到的最大值都不可能比前 $7$ 个数的最大值优，因为 $mod$ 运算只能使答案变小，不可能使答案变大。

但维护最小值没有单调性，比如对于 $p = 5$ ，你要将这些数分成两个部分：

$2, 3, 3, \dots$
此时你看到前两个数的答案是 $5$ ，然后你看到它不优你就想 break。但实际上前三个数可以这么分： $(2) (3, 3)$ ，此时的答案是 $3$ ！也许这就更优了，而你所谓的剪枝并没有更新，所以就自然而然地伪了。归根到底，是因为 $mod$ 运算可以使答案变小。

T3 [ARC148C] Lights Out on Tree

实质上的 T1。我是从一条链的情况入手的，假设这条链上 $1$ 的点是黑点 $[0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0]$ ，那么显然我们从左到右判每个黑点：若它前面的那个点也是黑点则跳过，否则答案+2，因为把原本的白点再反转回来还需要一次。最后，如果最后一个黑点的后面还有白点，答案还需+1。这里的正确性是显然的。

那么我们再考虑一棵树上的情况。对于一个黑点，如果它的父亲也是黑点，那么就不用给它反转了；否则，它所有的白色子节点都需要反转一次。代码很简单，我们甚至连树都不需要建。

T4 [ARC153C] ± Increasing Sequence

很不错的思维题，考场上想不出来纯属大脑里的明纳尔特共振。（雾

下面习惯地将原 $A$ 序列称为 $a$ ，原 $x$ 序列称为 $b$ 。（因为模拟赛的题面这么叫的）

我们首先随便构造一个 $b$ 序列，从 $1$ 到 $n$ ，计算出此时的 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}$ ，记为 $S$ 。

若 $S = 0$ ，结束了。
若 $S \neq 0$ ，我们考虑进行调整。

考虑到题目中有两个限制，一是 和为 0，二是 $b$ 序列严格递增。我们最开始构造出的序列是满足限制二的，所以我们就在满足限制二的前提下去尝试满足限制一。而能保持限制二的前提无非是前缀减或后缀加，这样都不会改变单调递增的性质。

当 $S > 0$ 时，证明这个序列大了，我们给他调小。易证，若 $a$ 序列存在一个前缀和为正值，或存在一个后缀和为负值，那么一定可以成功调整。

口胡证明：

假设有一组数 $a, b, c, d, \dots$ ，满足 $a + b - c + d + \dots = 0$ （随便给的，由一般可推所有），那么给 $a, b, c, d, \dots$ 统一加上或减去一个数，这个等式依然成立。

那么对于 $S > 0$ 的情况，如果存在一个前缀和为正值，说明这组数多出了一个数导致它们的和不为 $0$ 了，此时给这组数统一加或减一个数，相当于只给多出来的那一个数加或减，那么一定可以成功调整。

其余情况同理的。

~~我的口胡看不懂就自己想想吧，很好想的。~~

所以我们只需暴力求一下前缀和和后缀和，看是否能满足上述的任意一个条件。如果都不满足那就是无解，输出 No。反之就是有解。

对于 $S < 0$ 的情况同理的，只不过条件变成了存在一个前缀和为负值，或存在一个后缀和为正值。

这题的 $n$ 只有 $2 \times 10^{5}$ ，又是求可行解，复杂度的问题不用考虑。别忘开 long long 就行。

碼

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

constexpr int MAXN = 2e5 + 5;
int n, a[MAXN], b[MAXN];

signed main() {
	scanf("%lld", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", a + i);
	iota(b + 1, b + n + 1, 1);
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) sum += a[i] * b[i];
	if (sum == 0) {
		puts("Yes");
		for (int i = 1; i <= n; i++) cout << b[i] << ' ';
		cout << '\n';
	} else if (sum < 0) {
		int sma = 0, i;
		for (i = 1; i <= n && sma >= 0; i++) sma += a[i];
		--i;
		if (sma < 0) {
			puts("Yes");
			for (int j = 1; j <= i; j++) cout << b[j] + sum << ' ';
			for (int j = i + 1; j <= n; j++) cout << b[j] << ' ';
			cout << '\n';
			return 0;
		}
		for (i = n; i >= 1 && sma <= 0; i--) sma += a[i];
		++i;
		if (sma > 0) {
			puts("Yes");
			for (int j = 1; j < i; j++) cout << b[j] << ' ';
			for (int j = i; j <= n; j++) cout << b[j] - sum << ' ';
			cout << '\n';
			return 0;
		}
		puts("No");
	} else {
		int sma = 0, i;
		for (i = 1; i <= n && sma <= 0; i++) sma += a[i];
		--i;
		if (sma > 0) {
			puts("Yes");
			for (int j = 1; j <= i; j++) cout << b[j] - sum << ' ';
			for (int j = i + 1; j <= n; j++) cout << b[j] << ' ';
			cout << '\n';
			return 0;
		}
		for (i = n; i >= 1 && sma >= 0; i--) sma += a[i];
		++i;
		if (sma < 0) {
			puts("Yes");
			for (int j = 1; j < i; j++) cout << b[j] << ' ';
			for (int j = i; j <= n; j++) cout << b[j] + sum << ' ';
			cout << '\n';
			return 0;
		}
		puts("No");
	}

	return 0;
}

7/25

总结

成绩不错，没有挂分。这次学到的 trick 下次要注意，还有就是理解 T2 贪心的思路。

T1 Permutations & Primes

瞪眼规律题。本人题解在此。

T2 [ARC116E] Spread of Information

部分分是显然的： $k = 1$ 树的直径， $k = n - 1 \lor n \leq 5$ 输出 1，30pts 到手。

剩下就是一眼的二分答案，但怎么二分是个问题。容易发现的是我们需要在 $O (n)$ 的时间内完成 check，易得判断能否使用 $k$ 个点使得答案不超过二分的 $mid$ 。接下来就是考场上没有想到的了：对于任意一个点，最优情况是覆盖它的那个点也同时覆盖了尽可能多的点，易得覆盖点在它的 $mid$ 级祖先是最优的。具体的，就是这篇文章的内容了。

T3 Ball Collector

主要是套路，处理不能同时选择的两个点的 trick 通常是将这两个点连边，然后就转化成了边向边上节点二取一的问题。这点 trick 以后要注意。

剩下的什么可撤销并查集就不是重点了，题出的也是够好的。

T4 P7028 [NWRRC2017] Joker

~~题外话：教练出这题的时候竟然还和饿殍联动了~~

名字叫 Joker，题也很 Joker，挖坑。

7/26

总结

T2 的 40pts 只骗到了 20pts，还差进一步的推理。

T3 一眼熟悉，但括号序列的码量难以调试，直到我知道还能线段树维护直径。线段树是我认为我自己最熟练的数据结构，如何将一些图论问题转化为线段树，这道题给了我们一个提示。

T4 的暴力没能打上，其实状压的思路已经有了，但我拿 DFS 又 R 又 WA 的，于是放弃了。全场也只有 LMX 大佬打出来了，学习学习。

T1 y

两眼题，BFS 还是各种乱搞都能过。~~两眼题是因为我刚开始以为这题不可做。~~

T2 s

看知播题解。关于此题想说的已经在上面了。

T3 p

这题一眼就看得出来就是 P2056 的变式，只不过加了一个区间查询而已。P2056 的做法很多，如果我当时能在做那道题的时候看到线段树维护直径这个方法，也不至于这次死调括号序列……不过线段树维护直径只能用于非负权边，类似 Dijkstra。

首先我们要维护黑点的数量，白点我们是不看的。维护每个点的颜色，一旦有黑点加入，就要更新。此题相较于 P2056 增加了区间查询，所以需要用线段树或树状数组维护区间。由于是单点修改、区间查询，选择树状数组是最经济的方式。主要还是被卡空间卡怕了。

我们的线段树是维护区间黑点之间的直径的。每加入一个黑点，就在线段树上做修改。这里有一个结论：对于两个点集 $S, T$ ，他们的直径集合分别为 $f (S), f (T)$ ，则有

f (S \cup T) \subseteq f (S) \cup f (T)

换句人话说，假设 $S$ 的直径端点为 $u_{1}, v_{1}$ ， $T$ 的直径端点为 $u_{2}, v_{2}$ ，则 $S \cup T$ 的直径端点仅可能存在于 $u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}$ 这四个点中的任意两个中。证明很简单。那么我们就可以用线段树维护一个区间的 $u, v$ 和 $dis$ ，其中 $dis$ 表示 $dis (u, v)$ ，也就是直径。区间合并的时候在左右儿子的 $u, v$ 中四选二取 $dis$ 的最大值即可。

注意， $dis (u, v)$ 的计算需要用到 LCA 的计算。这里倍增由于自带一个 $\log$ 的常数，套在线段树里会 TLE 地死死的，所以请务必使用树剖或 ST 表求 LCA，我更倾向于树剖求，好写好调好背。

T4 [ARC096E] Everything on It

题意

对于集合 ${1, 2, \dots, n}$ ，求它的子集族中，有多少个子集满足：

任意两个子集互不相同；
$\forall i \in [1, n]$ ， $i$ 都在其中出现了至少 $2$ 次。

解析

这题就涉及到我还不会的知识了：斯特林数。咱先从头来看这个题。

设 ${dp}_{i}$ 表示已经有确定的 $i$ 种元素不合法，其它 $(n - i)$ 种元素任意的方案数，容斥，答案为

\sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n} (\binom{n}{i}) {dp}_{i}

既然 ${dp}_{i}$ 中的元素被鲜明地分成了两类，设 $f_{i}$ 表示确定的 $i$ 种元素不合法元素的方案数，有

{dp}_{i} = 2^{2^{n - i}} f_{i}

其中 $2^{2^{n - i}}$ 意为： $(n - i)$ 种元素构成了 $2^{n - i}$ 个集合，而这些集合又作为元素构成了 $2^{2^{n - i}}$ 个集合。这里求解这个需要用到欧拉定理，转化为求解 $2^{2^{n - i} mod MOD - 1} mod MOD$ 。

现在压力给到求 $f_{i}$ ，考虑这 $i$ 个元素分别放到了哪些集合里，而表示将 $i$ 个元素放到 $j$ 个集合里的方案数就是第二类斯特林数的定义。它的递推式为：

{\binom{i}{j}} = {\binom{i - 1}{j - 1}} + j {\binom{i - 1}{j}}

但只用斯特林数递推略有问题，由于限制是不多于一次，意味着可能存在一些数没有出现过。我们考虑新加入一个集合当做 “垃圾堆”，该集合中的数即为没有出现的数。但是还有一个问题：“垃圾堆” 可能为空。所以我们新加入一个数字 $0$ ， $0$ 所在集合即为垃圾堆。

所以有

f_{i} = \sum_{j = 0}^{n} {(2^{n - i})}^{j} {\binom{i + 1}{j + 1}}

层层回代，得到答案式

ans = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} \cdot 2^{2^{n - i}} (\binom{n}{i}) \sum_{j = 0}^{i} {\binom{i + 1}{j + 1}} \cdot {(2^{n - i})}^{j}

评价

写的很仓促，不完全理解。

7/27

总结

不是很理想。答题节奏有点小问题，前 1/3 场在怼 T4 的打表，最后也就比一般人多打了 4pts。然后后 2/3 场一直在怼 T3 的组合数学，结果还没 CQL 的暴力 DP 高。最后 T1 的 20pts 暴力和 T2 的 20pts 暴力拢共只拿了 10pts，rnk14 草草收场。

T1 看到概率期望心里很慌，也许是好长时间没打了导致忘了。其实 50pts 的 DP 还是很好想的，如果此时的我是刚刷完不少概率期望的我也许能打出来（我记得有段时间特爱考概率期望）。再往后 80pts 的矩阵快速幂不是我的强项，考场上真正拿到 >50pts 的人为零，所以也不做要求了。
T2 其实比较温和（听 WZW 大佬讲过之后觉得），但考场上能推出来的难度可能真的只有 WZW。不过 20pts 的暴力太可惜了，最重要的是我的代码 CE 了，因为毫秒级别随机数不能在 Linux 下使用。这点其实能在 CSP 之前发现是非常非常庆幸的，别到时候一个 _timeb 把一整套代码全葬送了。
T3 一眼高级组合数学，就一直死怼，不过没想到卡特兰数，因为打太久了忘了。 $typ = 1$ 的 25pts 非常显然， $typ = 2$ 的 DP 推了不少时间， $typ = 3$ 推了很久，最后 $typ = 0$ 没时间推了。原本 75pts 还变成了 60pts，因为没开 long long。
T4 一眼不会，STZ 大佬场切非常佩服，我就剩下打表了，最后比一般人多打了 4pts，其实还能再多打 2pts，不过这不重要。

总之，这场比赛是非常有教育意义的。概率期望、矩阵快速幂、组合数学，这些都是考出来非常拉分的知识点，必须掌握。

T1 随

10pts： $\mod = 2$ ，直接输出 1 拿下；
20pts： $n = 1$ ，直接输出 $a_{1}^{m} mod \mod$ 拿下；
还是答题节奏的问题，考场上没用快速幂导致这 10pts 失手。
50pts：考虑 DP。设 ${dp}_{i, j}$ 表示考虑到第 $i$ 个数，当前结果为 $j$ 时的答案，有 DP 方程
$dp (i, j) =$

T2 单

10pts：经典 LCA 暴力求树上距离；
20pts： $a_{i} \leq 20$ ，考虑暴力枚举；
40pts：考虑 up-and-down 求 $b$ 数组。先一遍 DFS 求出一个 $sum$ 数组， ${sum}_{i}$ 表示 $i$ 的子树的点权和。随后我们就有一个方程：

$b_{i} = b_{fa} - {sum}_{i} + ({sum}_{rt} - {sum}_{i}) = b_{fa} + {sum}_{rt} - 2 {sum}_{i}$
我们发现我们只需要知道 $b_{rt}$ 就可以求出整棵树的 $b$ 数组，而 $b_{rt} = \sum_{i = 2}^{n} {sum}_{i}$ ，进而得解。
100pts：也就是 $t = 1$ 的情况，需要我们通过 $b$ 数组求解 $a$ 数组。乍一看很难，关键点就在于我们刚推出的那个式子：

$b_{i} = b_{fa} + {sum}_{rt} - 2 {sum}_{i}$
移项得

$b_{i} - b_{fa} = {sum}_{rt} - 2 {sum}_{i}$
只要求出 ${sum}_{rt}$ ， $b$ 是我们已知的，所以就可以求出 ${sum}_{i}$ ，进而差分出 $a_{i}$ 。

每个除根节点以外的节点都有这个式子，也就是 $(n - 1)$ 个这样的式子，把它们求和：

$\sum_{i = 1}^{n} k_{i} b_{i} = (n - 1) {sum}_{rt} - 2 \sum_{i = 2}^{n} {sum}_{i}$
其中 $k_{i}$ 是根据树的结构决定的系数，我们只需一遍 DFS，每遍历到一个节点给 $k_{i} \leftarrow k_{i} + 1, k_{fa} \leftarrow k_{fa} - 1$ 就可以求出。移项有

${sum}_{rt} = \frac{1}{n - 1} (\sum_{i = 1}^{n} k_{i} b_{i} + 2 \sum_{i = 2}^{n} {sum}_{i})$
后面那个看起来很难求，但请注意前面我们已经推过的某一式子，可知：这个玩意就是 $b_{1}$ 。

然后就求出来了。

评价

WZW 大佬真的非常善于推式子啊。

T3 题

高级组合数学，这题的部分分非常明显，主要在于求组合数。其实想到卡特兰数又能如何呢，你卡特兰数还不是得拿组合数求。不过如果能看出来卡特兰数，不失为一种猜结论的方法。

主要学习的还是 CQL 的 DP，这个技巧非常实用，定义 $f_{i, j, k}$ 为 $i$ 步之后走到 $(j, k)$ 的方案数。但这是 $O (n^{3})$ 的，要做到 $O (n^{2})$ 我们看到 CQL 同志在 $typ = 2$ 时的转移：

dp[0][1000] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= 4000; j++) {
        if (j == 1000)
            dp[i][j] = (dp[i - 1][999] + dp[i - 1][1001] + dp[i - 1][2001] + dp[i - 1][3001]) % mod;
        else if (j == 999)
            dp[i][j] = (dp[i - 1][1000] + dp[i - 1][998]) % mod;
        else if (j == 1001)
            dp[i][j] = (dp[i - 1][1000] + dp[i - 1][1002]) % mod;
        else if (j == 2001)
            dp[i][j] = (dp[i - 1][1000] + dp[i - 1][2002]) % mod;
        else if (j == 3001)
            dp[i][j] = (dp[i - 1][1000] + dp[i - 1][3002]) % mod;
        else 
            dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j + 1]) % mod;
    }
cout << dp[n][1000] << "\n";

当时他讲了，不过现在也不太记得了。

T4 DP搬运工1

比较新颖的 DP 转移方式，叫预设型 DP，它的一个点在于对于一个序列 $[....1..23...4......]$ 的情况，中间的 $.$ 可以有无数个，我们不关心有多少个空位，只关心能否将新元素插入任意一个空位中，具体插入后空位的情况我们再分讨。

当然，考试上几乎没有人能想出这个转移的，更多的人还是采取暴力 + 打表的方式，毕竟能骗两分是两分。

7/29

这场比赛是稳定的，有挂分但不多，保住了祖传 rnk8 的好成绩，但 T4 的挂分并非不可查，还是要多检查啊。

T1 [ARC148A] mod M

简单题，易发现模数为 $2$ 的时候肯定是最优的，~~所以全输 1 或 2 就有可观的分数~~。经测试，全输 1 拿 59pts，2 拿 41pts，随机输刚好 50pts。

但在某些情况下模数为 $2$ 并不优，当且仅当这些数对某一个模数是同余的。所以排序然后 gcd 判一下相邻数之间的差即可。

T2 [ARC107D] Number of Multisets

T2 是臭名昭著的 $998244353$ ，也是 DP 题。转移很神仙，具体地，如果所有数凑成了 $j$ ，那么只需全部除以二就能凑成 $j / 2$ ，所以 $f_{i, j}$ 表示 $i$ 个数和为 $j$ 的方案数，转移：

f_{i, j} = f_{i - 1, j - 1} + f_{i, j \times 2}

T3 [ARC149D] Simultaneous Sugoroku

暴力的 47pts 很可观；
此题的 trick：将移动波特转化为移动原点，同时观察移动中在原点两侧的不变的量及时剪枝，从而减少枚举。

T4 [ICPC2018 WF] Triangles

这题让我想到南蛮图腾，不过显然比那题单纯的模拟要难得多；
树状数组维护的做法很 D，考场上能保证自己的暴力不写挂就不错了；
暴力有 50pts。

7/30

炸废了。还是考场上不够细心，更多地去推难题的高级部分分 / 正解，从而简单题上挂了分。

T1 [ARC124B] XOR Matching 2

不难，我们发现要想减少枚举，就从枚举结果入手，此题的结果只能是 $n$ 的复杂度，分别用 $a_{1}$ 去异或 $b_{i}$ ，然后暴力检查这个结果能否匹配上剩余的 $b_{j} (j \neq i)$ ，如果能匹配上答案就累加，一定一定要对答案去重。

具体可以对 $a, b$ 数组都排序，可以减少暴力检查的复杂度。

T2 S

很可惜的一道 DP，推了最长时间，也是挂分最多……

显然的一点是，抽屉原理，如果一个球的数量超过了 $⌈ n / 2 ⌉$ ，那一定是无解。然后考虑每个球给总答案的贡献，设 ${dp}_{i, j, k}$ 表示三种颜色的球都填多少了，但是这样没法转移，因为这题还要求同种颜色不相邻，那么再设一维变成 ${dp}_{i, j, k, 0 / 1 / 2}$ 表示最后填的球的颜色。因为同种颜色是不可能交换的，所以每个球要交换到 “不丑” 需要走逆序对的数量，而这个逆序对我们可以通过处理一个 ${sum}_{0 / 1 / 2, i}$ 表示前 $i$ 个位置三种颜色球的总和、 ${pos}_{0 / 1 / 2, i}$ 表示总和为 $i$ 时三种颜色的球的位置，然后转移：

{dp}_{i, j, k, 0} = min {min ({dp}_{i - 1, j, k, 1}, {dp}_{i - 1, j, k, 2}) + {sum}_{1, {pos}_{0, i}} - j + {sum}_{2, {pos}_{0, i}} - k}

其他情况的转移同理。

考完试检查发现还是转移的地方有漏，加上一定要滚动数组优化空间。

T3 [ARC124E] Pass to Next

很 D 的一道题。

T4 [JOI 2020 Final] 火事 / 火事 (Fire)

我参考的是这篇的乱搞做法。相关正在研究。具体而言，用 list 维护递减段是很新颖的，以前对 list 不是很了解，以后可以多了解一些奇技淫巧。

7/31

rnk2，刷新纪录了。不过 bobo 说考的好是因为打的顺，所以也没什么可骄傲的。

T1 黑客

枚举答案，老套路了。我们枚举最终约分好的分子和分母，用 $A, B, C, D$ 分别除以它们，得到两段区间，取区间的交集累加答案，时间复杂度 $O (999^{2})$ 。

T2 密码技术

上来先看题：又是一道 $998244353$ ……

不过再一看数据范围： $n \leq 50$ ，~~这不是标准乱搞么~~。我们仔细观察这个题，首先我们知道，如果有 $x$ 行（列）可以交换，那么它们会给答案有 $x!$ 的贡献。我们又发现，行的方案数和列的方案数是互不影响的。所以这题看似 $998244353$ ，实际上就是很简单的计数。

接下来看怎么统计。我们重点是要知道能相互交换的行（列）数。既然数据这么水，对于任意两行（列）能否交换我们直接暴力 $O (n^{3})$ 求即可。我们发现若 $a, b$ 两行能交换， $b, c$ 两行能交换，那么 $a, b, c$ 三行都能交换。所以就很自然地并查集处理。然后这题就做完了。

T3 [HNOI2015] 亚瑟王

出题人包装题面的能力是越来越高了，不过还是被我搜样例找到了原题。

45pts 的状压本以为稳了，没想到需要优化，否则只有 11pts。具体而言，我们原本是要枚举 $s \in [0, 2^{n} - 1]$ ，但其实我们没有必要枚举这么多，稍微存一下每个状态的点就可以优化。

posted @ 2024-08-17 23:13 Laoshan_PLUS 阅读(23) 评论(0) 编辑收藏举报

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