德莫弗-拉普拉斯定理
其中z为任意实数,q=1-p.
证: 设随机变量ξi表示事件A在第i次试验中发生的次数(i=1,2,…,n,…),则ξi服从“0-1”分布, 相互独立,且有
直接由列维定理就得此定理.
l 近似公式
在上述定理条件下,当n充分大时,ηn落在m1与m2之间的概率
(5.19)
注:此定理实际上说明了当n充分大时,二项分布B(n,p)逼近正态分布N(np,npq),这是因为ηn是服从二项分布B(n,p)的.
转自:http://4a.hep.edu.cn/NCourse/gltj/5/gltj05040103.htm例2 某批产品的次品率为0.005,试求在10000件产品中次品不多于70件的概率P.
解 设ξ表示在任意抽取的10000件产品中的次品数,则ξ服从二项分布B(10000,0.005). 此时若直接计算概率
这是较困难的.我们利用近似公式来计算,则
已知n=10000,p=0.005,q=0.995,np=50, , 故
例3 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q千瓦.由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%,各台机器是否工作是相互独立的.求:(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率;(2) 需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.99?
解 设事件A表示机器工作,则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验.已知n=200,p=0.75,q=0.25,np=150, ,故
(1)设η表示任一时刻处于工作状态的机器数,
(2)设任一时刻正在工作的机器数不超过m,则题目要求
利用(5.19)式得,
因 ,故 ,查标准正态分布表
得 ,并注意到函数是单调增的,
则有,解得m≥164.25
因为m为整数,故取m=165,即需要供应165Q千瓦的电功率.
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