数据结构——二叉树
一、二叉树的定义
二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
二、二叉树的特点
1、每个结点最多有两颗子树。
2、左子树和右子树是有序的。
3、即使树中只有一课子树也要区分左右子树。
二叉树具有五种基本形态:
1、空二叉树。
2、只有一个根结点。
3、根结点只有左树。
4、根结点只有右树。
5、根结点既有左子树又有右子树。
三、特殊二叉树
1、斜树
所有的结点都只有左子树的二叉树叫做左斜树,所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。
2、满二叉树
在一颗二叉树中,如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样树称为满二叉树。
3、完全二叉树
对一颗具有n个结点的二叉树按层次编号,如果编号i (1<=i <=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵树称为完全二叉树。
四、二叉树的性质
1、在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)
2、深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)
3、对任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为n0,深度为2的结点树为n2,则n0 = n2 + 1;
4、具有n个结点的完全二叉树的深度为log2^n+1
5、如果对一颗有n个结点的完全二叉树(其深度为log2^n+1)的结点按层序编号,对任一结点有:
(1)如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲是结点[i/2].
(2)如果2i >n,则结点i无左孩子;否则其左孩子是结点2i
(3)如果2i+1>n,则结点i无右孩子,否则其右孩子是结点2i+1.
五、二叉树的实现
#include <iostream> using namespace std; typedef char T; class bst{ //定义二叉查找树 struct Node{ T data; Node* L; Node* R; Node(const T& d):data(d), L(), R(){} Node(const T& d, Node *l, Node *r):data(d), L(l), R(r){} }; typedef Node* tree; Node * rp; int n; public: bst():rp(), n(){} //清空 void clear(){ clear(rp); n = 0; } //析构函数 ~bst(){ clear(); } //插入 void insert(const T& d){ insert(rp, new Node(d)); ++n; } //查找 tree& find(const T& d){ return find(rp, d); } //遍历 void travel()const{ travel(rp); cout << endl; } //判断树是否为空 bool empty()const{ return rp==NULL; } //返回树的结点数 int size()const{ return n; } //移除某个结点 bool remove(const T& d){ tree& t = find(d); if(t == NULL) return false; Node* p = t; if(t->L != NULL){ insert(t->R, t->L); } t = t->R; delete p; return true; } //获取根结点数据 const T& root()const{ if(rp == NULL) return NULL; else return rp->data; } //插入结点 void insert(tree& t, Node *p){ if(t == NULL){ //如果根结点为NULL,空树 t = p; }else if(p->data < t->data){ insert(t->L, p); //插入左子树 }else{ insert(t->R, p); //插入右子树 } } //查找数据 //返回以d为根的子树的根指针 tree& find(tree& t, const T& d){ if(t == NULL){ return t; //没找到 }else if(d == t->data){ return t; //找到了 }else if(d < t->data){ return find(t->L, d); }else{ return find(t->R, d); } } //遍历二叉树 void travel(tree t)const{ if(t != NULL){ //中序遍历 travel(t->L); cout << t->data << ' '; travel(t->R); } } //清空树 void clear(tree& t){ if(t != NULL){ //后序遍历 clear(t->L); clear(t->R); delete t; t = NULL; } } //获取树的层数 int high(tree& t){ if(t == NULL) return 0; int lh = high(t->L); int rh = high(t->R); //最高子树高度再加根结点高度1 return 1 + (lh > rh ? lh : rh); } }; int main(){ bst b; b.insert('k'); b.insert('s'); b.insert('f'); b.insert('t'); b.insert('a'); b.insert('m'); b.insert('x'); b.insert('e'); b.insert('w'); b.insert('b'); b.insert('u'); b.insert('j'); b.travel(); cout << "**********remove k,m,u,j******" << endl; b.remove('k'); b.remove('m'); b.remove('u'); b.remove('j'); b.travel(); cout << "**********remove root*********" << endl; while(!b.empty()) b.remove(b.root); cout << "size:" << b.size() << endl; b.travel(); return 0; }