群论产生的历史背景
从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，接着古希腊人和古东方人又 解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。同一时期，意大利人费尔 拉里又求解出一般四次方程 x4+ax3+bx2+ cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。
1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但 是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代 数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。相继鲁菲尼和高斯都在这方面进行了研究.
随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺 陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定 理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的 一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q 2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x)，q 1，q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地 构造方程根的置换集合,而仅仅考虑可交换性q 1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。
阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝 尔未竞的事业. 可惜他英年早逝,留下遗书,遗书的主要内容，从数学方面看，都是重要成果．他提出了群的概念，用群的理论彻底解决了根式求解代数方程的问 题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论．后人为了纪念他，将这套理论称之为伽罗瓦理论．这个理论可以推导出五次以上的一般代数方程根式不可解以及用圆 规、直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论．
伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易·腓力浦朝代初期，年轻热情的伽罗华对师范大学教育组织极为不满。由于他揭发了校长吉 尼奥对法国七月革命政变的两面派行为，被吉尼奥的忠实朋友，皇家国民教育委员会顾问库申起草报告，皇家国民教育委员会1831年1月8日批准立即将伽罗瓦 开除出师范大学。之后，他进一步积极参加政治活动。1831年5月l0日，伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕。在监狱中伽罗华一方面与官方进行不妥协的 斗争，另一面他还抓紧时间刻苦钻研数学。尽管牢房里条件很差，生活艰苦，他仍能静下心来在数学王国里思考。l832年3月16日伽罗华获释后不久，年轻气 盛的伽罗华为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗华非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地 把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他 在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。第二天上午，在决斗场上，伽 罗华被打穿了肠子。历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他 20岁时被杀死了，他研究数学才只有五年。
伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华 理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数学分析、几何学的 发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。
群的概念简介
今天通常用的群的一个抽象定义是:一些元素(个数有限或无限)组成的集合,和一种运算,当对集合中任两元素施行这个运算时,所得结果仍然是这集合中的一个 元素(封闭性).这个运算是集合的:集合中存在一个元素设为e,使得对于这集合中任何一个元素a恒有ae=ea=a;而且对于集合中每一个元素a,存在一 个逆元素a’,使得aa’=a′a=e.若这个运算是交换的,这个群就叫交换群或Abel群,这时这个运算叫做加法,用"+"表示.这时元素e记作0,叫 做零元素.如果这运算是不交换的,则叫做乘法,并把元素e记作1,叫做单位元素.
希尔伯特在几何学情形对群所做的处理是: 一个群由3个"本原"对象构成:一个集合G,一个元素e∈G以及G中的一个合成律既一个映射m:G*G→G.关于群的3条公理:
1) 合成律m是结合的,这就是说,对x,y,z∈G,有m(m(x,y),z)=m(x,m(y,z)).
2)e是对于m的中性元,这就是说,对x∈G,有m(m,x)=m(x,e)=x.
3)每个元素x∈G有逆元x’,换言之有m(x,x’)=m(x’,x)=e.
一个群称为交换的,如果加之还有,对x,y∈G,m(x,y)=m(y,x).
如果G只有有限个元素,则称它为有限群;其元素个数称为G的阶.
群G的子集H称为G的一个子群,如果对x,y∈H有m(x,y)∈H,x’∈H
对数学家而言,群有下列要素组成:
(1) 一个集合G以及(2)一种运算*,它为G中的任意一队元素x与y 确定一个仍属于G的元素x*y.运算*需满足下列三个条件("群公理");
(3) 它满足结合律:对G中任意的x,y,z,有
(x*y)*z=x*(y*z).
(4)G中存在单位元I,使得对于G中任意的x,有
I*x=x*I=x.
(5)G中的每个成员都有一个逆:若x属于G,则存在G中的元素y,使得
x*y=y*x=I.
群的内容数学中的系统可以说是一部数学的机器，它的主要部分是
（1）元素。（2）相对应的运算。
例如:（a）①元素是一切整数（正整数、负整数或0）；
②运算是加法。
（b）①元素是一切有理数（可以写成两个整数的商的数，如 3／4。 0除外）;②运算是乘法。
（C）①元素是某几个文字（如x1、x2、x3）的置换；
②运算是将一个置换跟着另一个置换。
①元素是下图的旋转，转的度数是600或600的倍数；
②运算是将一个旋转跟着另一个旋转。
如果这种系统能满足下列四个性质，就称为群。
（1）假使两个元素用规定的运算结合时，所得的结果仍是系统中的一个元素。
（2）系统中必须含有主元素。主元素具有与系统中任意另一个元素结合的结果仍是那另一个元素的性质。
（3）每个元素必须有一个逆元素，即一个元素和其逆元素用系统中的运算结合的结果是主元素。
（4）结合律必须成立。
由于群的例子非常多,所以群的概念十分有用--它不仅在数学中几乎无处不在,同样也出现在其他科学中.后面我们会给出大家一些群的例子.凡对一般群成立的论断对任一特殊的群也是成立的.任意的,抽象的群的性质都是从群的定义出发的.
群的一些例子
伽罗瓦留给世界的最核心的概念是群,这对所有时代都是最有意义的概念之一,在许多数学领域有它的应用.我们下面介绍几种群的例子让大家能明白群的思想:
对称群 1)对平面图形来说左右对称是日常生活中看到的,但数学家还有一种对称就是旋转对称.如等腰三角形有三个对称:作120°的逆时针旋转(称为v),作 240°的逆时针旋转(称为w),以及恒同变换I,此时一切保持不变.因为相继作两个120°的旋转效果跟作一240°的旋转相同,因此显然有v*v= w.同样,两个240°的旋转等同于一个120°的旋转,因此w*w=v.
2) 十二面体是由十二个全等的正五边形组成的类似球形的立体,它有六十个旋转对称.立方体和十二面体两者的旋转对称自身都构成了群.
3) 钟群 由12小时的钟点给出.取1到12的整数集,利用"钟表加法"
作演算,其中的12在计算当中当作0,过了12一又从1数起,例如5加5是10,7加8是3,11加11是10,7加12是7,等等.这样给出一个群,其单位元是12,群中任一数的逆是12减去该数所得的差,所以7是5的逆,9是3的逆,等等.
4) 由四个动作构成的集合G=｛向右转R，向左转L，向后转H，不动I｝，若以接连动作表示两种动作的运算关系，则G是群，I是单位元．L-1=R，R-1=L，H-1=H.
是他们让群论发展日趋成熟
e"伽罗瓦（e.galois，1811－1832）创立了具有划时代意义的数学分支——群论在数学发展史上作出了重大贡献。伽罗瓦群理论被公认为十九世 纪最杰出的数学成就之一。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把 数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结 构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
cayley(凯莱)曾经在1849年提出过抽象群,但这个概念的价值当时没有被认识到,远远超越时代的Dedekind(戴德金)在1858年给有限群 下了一个抽象的定义,这个群是从置换群中引导出来的,他有在1877年提出了一个抽象的有限交换群.Kronecker(克罗内克)也给出了一个相当于 Abel 群的定义,他规定了抽象的元素,运算,封闭性,结合性,交换性.以每个元素的逆运算的存在和唯一.他还证明了一些有关群的定理.1878年又是凯莱提出了 一个群可以看作一个普遍的概念.毋需只限于置换群,这样认识到抽象群比置换群包含更多的东西.
Frobenins(费罗贝尼乌斯)和stickelberget(施莱克贝格)(1850---1936)合作,把认识又推进了一步,认为抽象群的概念
应包含同余,他们提到无限群,而后来Netto(内托)曾经讨论过置换群并且给出了同构和同态的概念.1880年克莱因在他的爱尔兰根纲领中指出无限的交
换群可以对几何进行分类,后来他和庞加莱在他们的自守函数工作中曾经用到了其他类型的无限群即离散群或不连续群.1870年左右Sophus
lie(李)着手研究连续交换群的概念,并用此阐明微分方程的解并将它分类.而受凯莱的影响,一位克莱因的学生D
yek(迪克)1882年和1883年发表了关于抽象群的文章,其中包含离散群和连续群,很明确的运用了一个群的生成元这一概念.
群论的应用
用群论方法整理几何
用群论方法整理几何实际上我们是在体现我们的群的应用是无所不在的,它应用与我们的各个知识领域.而克莱因正是由群论来实现了把几何学的许多互不相干的分支之间建立了内在的联系.
克莱因将群论应用于几何学,主要建立在集合S到它自身之变换这个概念上的.他对几何学给出如下的定义;几何学是当集合S的元素经受某变换群T中所包含的变 换时集合S保持不变的那些性质的研究.为方便起见,这种几何学以符号G(S,T)表示.例如: 1)平面欧几里得度量几何: 设S为通常平面上所有点的集合,考虑由平移、旋转和线上的反射组成的所有S的变换的集合T.因为任何两个这样的变换的乘积和任何这样的变换的逆变换还是这 样的变换,所以,T是一个变换群.像长度、面积、全等、平行、垂直、图形的相似性,点的共线性和线的共点性这样的一些性质在群T下是不变的,而这些性质正 是平面欧几里得度量几何所研究的. 2)平面相似几何: 把平面欧几里得度量几何的变换群T扩大, 除了平移、旋转和线上的反射外,再加上位似变换.在此扩大的群下,像长度面积和全等这类性质不再保持不变,因而不再作为研究的课题.但平行垂直图形的相似 性,点的共线性,线的共点性仍然是不变的性质,因而仍然是这种几何中要研究的课题.3)平面影射几何: 它所研究的是平面上的点经受所谓变换时仍然保持不变的性质.在前面讲的那些性质中,点的共线性和线的共点性仍然保持不变,因而是这种几何所要研究的课题.
在上述的几何中,使某变换群的变换起作用的基本元素是点,因此,上述几何均为点几何的例子.还有线几何, 圆几何,球几何和其他几何的例子.于是,在建立一种几何时,人们首先是不受拘束地选择几何的基本元素;其次是自由选择这些元素的空间或流形;第三,是自由 选择作用于这些基本元素的变换群,这样,新几何的建立就成为相当简单的事了.可以说克莱因用群论来研究几何学是新时代的精神.也是我们现在要学习了解的群 论的思想的体现.
对称群理论在先进（陶瓷）材料中的应用
晶粒作为陶瓷（晶体）材料的亚一级单元，对陶瓷的性能无疑起着关键性的作用．因此，通过对晶粒的深入研究可得到获得新的材料性能的思路．例如，由晶体的
各向异性性，我们可以通过控制外界工艺条件使晶粒在某个晶向优先生长，直至长成纳米级甚至更大量级的晶须，从而可能具有某些前所未有的性能．在力学上使结
构陶瓷得到更好的晶须增韧效果，在物理性能上使功能陶瓷获得更好的压电性能、热释电性、倍频效应，使人工晶体获得更好的旋光性等光学性能，等等．
通过对这些具有一定力学性能、物理性能的材料的微观本质的分析，可以反过来利用对称群分析看看可以通过如掺杂等哪些方式来改变晶体的晶格以获得性能更佳、物理效应更显著的晶体．
对称群是表征对称性的理论工具．正如我们研究问题从简单到复杂、由理想模型逐渐引入实际情况的＂缺陷＂到实际情况过渡一般，在我们研究非对称问题、非晶态 材料时首先也应该以对称的晶体材料为基础去发展非对称理论，从而以之为工具去研究非晶态材料、非平衡态材料．非晶体与晶体相比有着大量的缺陷，原子或离子 间的结合也不如晶体那般整齐有序．显然，将因此而比同类晶体具有更大的内能．当非晶态向晶态转变或者反过来晶态向非晶态转变时将吸收或放出大量的能量．选 择适当的材料显然在某些场合可以考虑由此而用来存储能量．
